Степінь многочлена

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

Приклади

• Многочлен $\ 3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9$ має степінь 9.
• Многочлен $\ (y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)$ має степінь 3.
• Многочлен $\ (3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)$ має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно привести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та привести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Звичайно (але необов'язково) члени також впорядковуються за убуванням степенів. Наприклад, приведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

• для $3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9$ після зміни порядку матимемо $- 7 x^9 + 2 x^5 - 5 x + 3$;
• для $(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)$ після розкриття дужок та збирання членів з однаковим степенем матимемо $- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378$;
• для $(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)$ два подібні члени степеня 8 зникають, маємо $z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6$.

Поведінка при додаванні, відніманні та множенні

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менша від нього у випадку, коли члених з найбільшими степенями скорочуються.

$\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q))$.

$\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q))$.

Наприклад:

• Степінь $(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$ дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

• Степінь $(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x$ дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів - це сума їхніх степенів

$\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.

Наприклад:

• Степінь $(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x$ дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочлена

Многочлен $f ( x ) = 0$ називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність, $-\infty$, і домовитися, що

$\ \max(a,-\infty) = a$,

і

$\ a + -\infty = -\infty$.

Наприклад:

• Степінь суми $\ (x^3+x)+(0)=x^3+x$ дорівнює 3.

Зауважте, що $3 \le \max(3, -\infty)$.

• Степінь різниці $\ x-x = 0$ дорівнює $-\infty$.

Зауважте, що $\ -\infty \le \max(1,1)$.

• Степінь добутку $\ (0)(x^2+1)=0$ дорівнює $\ (-\infty)+2 = -\infty$.

Узагальнення на випадок многочленів з кількома змінними

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен $x^2 y^2 + 3 x^3 + 4 y$ має степінь 4 - це степінь члена $x^2 y^2$.

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенем

• Степінь 1 - лінійний многочлен
• Степінь 2 - квадратичний многочлен
• Степінь 3 - кубічний многочлен