Степінь многочлена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

Приклади[ред.ред. код]

  • Многочлен \ 3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9 має степінь 9.
  • Многочлен \ (y - 3)(2y + 6)(-4y - 21) має степінь 3.
  • Многочлен \ (3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z) має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно привести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та привести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Звичайно (але необов'язково) члени також впорядковуються за убуванням степенів. Наприклад, приведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

  • для 3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9 після зміни порядку матимемо - 7 x^9 + 2 x^5 - 5 x + 3;
  • для (y - 3)(2y + 6)(-4y - 21) після розкриття дужок та збирання членів з однаковим степенем матимемо - 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378;
  • для (3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z) два подібні члени степеня 8 зникають, маємо z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6.

Поведінка при додаванні, відніманні та множенні[ред.ред. код]

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менша від нього у випадку, коли члених з найбільшими степенями скорочуються.


\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).
\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).

Наприклад:

  • Степінь (x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1 дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

  • Степінь (x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів - це сума їхніх степенів

\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q).

Наприклад:

  • Степінь (x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочлена[ред.ред. код]

Многочлен f ( x ) = 0 називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність, -\infty, і домовитися, що

\ \max(a,-\infty) = a,

і

\ a + -\infty = -\infty.

Наприклад:

  • Степінь суми \ (x^3+x)+(0)=x^3+x дорівнює 3.

Зауважте, що 3 \le \max(3, -\infty).

  • Степінь різниці \ x-x = 0 дорівнює -\infty.

Зауважте, що \ -\infty \le \max(1,1).

  • Степінь добутку \ (0)(x^2+1)=0 дорівнює \ (-\infty)+2 = -\infty.

Узагальнення на випадок многочленів з кількома змінними[ред.ред. код]

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен x^2 y^2 + 3 x^3 + 4 y має степінь 4 - це степінь члена x^2 y^2.

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенем[ред.ред. код]

  • Степінь 1 - лінійний многочлен
  • Степінь 2 - квадратичний многочлен
  • Степінь 3 - кубічний многочлен