Степінь трансцендентності

Степінь трансцендентності розширення поля L/K це найбільша потужність підмножини поля L, що є алгебраїчно незалежною щодо поля K.

Розширення L/K є трансцендентним тоді і тільки тоді, коли поле L містить елементи, трансцендентні над K, тобто елементи, що не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з коефіцієнтами з K.

Відповідно розширення є алгебраїчним тоді і тільки тоді коли його степінь трансцендентності рівний нулю.

Якщо X — максимальна множина, всі елементи якої алгебраїчно незалежні, то X називається базисом трансцендентності поля L над K. Усі базиси трансцендентності мають однакову потужність, що рівна степеню трансцендентності розширення.

Для полів $M \supset L \supset K$ степінь трансцендентності M/K рівний сумі степенів трансцендентності L/K та M/L. Якщо всі елементи множини X алгебраїчно незалежні, то розширення до K(X) називається чисто трансцендентним. В цьому випадку поле K(X) ізоморфне полю раціональних функцій від множини змінних X над K.

Приклади

• Поле раціональних функцій n змінних K(x₁,...,x_n) є чисто трансцендентним розширенням поля K степінь трансцендентності якого рівний n; за базис трансцендентності можна, наприклад взяти множину {x₁,...,x_n}.
• Степінь трансцендентності поля мероморфних функцій визначених у компактній рімановій поверхні рівний 1 над полем комплексних чисел.
• Степінь трансцендентності поля $Q(\sqrt{2},\pi)$ над $\Q$ рівний 1, оскільки √2 є алгебраїчним числом, а π — трансцендентним.
• Степінь трансцендентності поля $\C$ чи $\R$ над $\Q$ рівний потужності континуум.

Джерела

• Зарисский О., Самюэль П. (1963). Коммутативная алгебра. том I. Москва: ИЛ. с. 373. 
• Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965.