Піднесення до степеня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Степінь числа)
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Результати обчислення
Додавання (+)
1-й доданок + 2-й доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
1-й множник × 2-й множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореня підкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм
Графік функції y = bx для різних значень основи b: для 10 (зеленим), для основи e (червоним), для 2 (синім), і 12 (блакитним). Кожна крива проходить через точку (0, 1), оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 0, дасть значення 1. При x = 1 значення y дорівнює основі, оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 1, є самим числом.

Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як для основи степеня та показника степеня в результаті застосування отримується степінь[1].

Якщо n — натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

.

Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом, четвертий — біквадратом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 71 = 7*.

Історія[ред. | ред. код]

Поняття степеня використовувалося давньогрецьким математиком Евклідом для дослідження квадрату прямої[2]. Архімед відкрив і довів закон для степенів — 10a 10b = 10a+b, необхідний, щоб оперувати степенями числа 10[3]. У IX столітті перський математик Аль-Хорезмі використовував терміни мал для квадрата і кахб для куба, які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як m і k, відповідно, як видно із роботи Аль Каласаді[en] до XV століття[4].

У кінці XVI століття Йост Бургі[en] для степенів використовував римські літери[5].

На початку XVII століття першу форму сучасного позначення степеня запропонував Рене Декарт у своїй праці під назвою La Géométrie; у книзі I і було введено відповідні позначення[6].

Деякі математики (наприклад, Ісаак Ньютон) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали поліноми, наприклад, як ax + bxx + cx3 + d.

Ніколас Шуке[en] використовував форму показникового запису в XV столітті, яку згодом використали Геріх Грамматеус[en] і Міхаель Штифель у XVI столітті. Слово «експонента» виникло в 1544 році завдяки Міхаелю Штифелю[7]. У XVI столітті Роберт Рекорд використовував терміни квадрат, куб, дзензизензик (четвертий степінь), сурсолід (п'ятий), дзензікуб (шостий), другий сурсолід (сьомий), і дзензизензензик (восьмий)[8]. Також для назви 4-го степеня використовували слово біквадрат.

Інший синонім, що існував в історії, інволюція[9], зараз вживають рідко і його не варто плутати із більш загальним значенням цього слова.

У 1748 році Леонард Ейлер написав:

...розглянемо експоненти або степені, в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є алгебраїчними функціями, оскільки в них показних мав би бути константою[10].

Із цим введенням у трансцендентні функції, Ейлер заклав початок сучасному введенню в натуральний логарифм, що є оберненою функцією для y = ex.

Для цілих показників[ред. | ред. код]

Нульовий показник[ред. | ред. код]

При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1[11]:

одне з пояснень —

Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про пустий добуток[en].

Більш спірним випадком є випадок 00 — нуль у нульовому степені.

Від'ємні показники[ред. | ред. код]

Наведене нижче рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового x:

Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність .

Приведена вище рівність може бути доведена з визначення, якщо продовжити значення показника у від'ємну область цілих чисел.

Для не нульових значень x і додатних n рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як

Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел n і ненульових x, випливає, що

і в більш загальній формі для будь-якого ненульового x і будь-яких невід'ємних цілих n,

Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел n.

Комбінаторна інтерпретація[ред. | ред. код]

Для невід'ємних цілих n і m степінь nm є числом функцій із множини з m елементів у множину з n елементів (див. кардинальне експонування). Така функція може бути представлена як m-кортежів із множини n-елементів (або слово із m-літер, що належить алфавіту, в якому є n-літер).

05 = │ { } │ = 0 Не існує 5-елементного кортежу, який можна було б побудувати із пустої множини.
14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1 Існує один 4-елементний кортеж із множини з одного елемента.
23 = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8 Існує вісім 3-елементних кортежів із множини з двох елементів.
32 = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9 Існує дев'ять 2-елементних кортежів із множини з трьох елементів.
41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4 Існує чотири 1-елементні кортежі із множини з чотирьох елементів.
50 = │ { () } │ = 1 Існує лише один 0-кортеж.

Тотожності і властивості[ред. | ред. код]

Наступні тотожності виконуються для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:

Операція піднесення до степеня не є комутативною. Як протилежність — операції додавання і множення комутативні.

Наприклад,

2 + 3 = 3 + 2 = 5 і 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6,

але 23 = 8, оскільки 32 = 9.

Операція піднесення до степеня також не є асоціативною.

Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 і

(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24,

але 23 на 4 дорівнює 84 або 4096, в той час як 2 на 34 дорівнює 281 або 2417851639229258349412352.

Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху вниз (тобто з асоціативністю справа наліво), а не знизу вгору[12] (з асоціативністю зліва направо):

Google і WolframAlpha у своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, але варто зазначити, що деякі комп'ютерні програми, як-от Microsoft Excel і MATLAB, виконують операції зліва (зверху вниз), тобто a^b^c розраховується як (a^b)^c.

Окремі значення основ[ред. | ред. код]

Степені десятки[ред. | ред. код]

У десятковій системі числення цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1, за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, 103 = 1000 і 10−4 = 0.0001.

Степені із основою 10 використовуються в науці як експоненційний запис для позначення дуже великих або дуже малих чисел. Наприклад, 299792458 м/с (швидкість світла у вакуумі в метрах на секунду) можна записати так: 2.99792458×108 м/с, а потім апроксимовано до 2.998×108 м/с.

Префікси одиниць вимірювання теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс кіло- означає 103 = 1000, тому кілометр становить 1000 метрів.

Степені двійки[ред. | ред. код]

Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто і мають особливі назви, такі як: половина і чверть.

Степені числа 2 з'являються в теорії множин, оскільки множина з n елементів має булеан, множина з усіх її підмножин, який має 2n елементів.

Цілі степені двійки важливі у комп'ютерній науці. Додатні цілі степені 2n задають максимальну можливу кількість значень для n-бітного цілого двійкового числа; наприклад, байт може приймати 28 = 256 різних значень. Двійкова система числення дає змогу представляти будь-яке число як суму степенів 2: його можна записати як послідовність цифр 0 і 1, розділених двійковою крапкою, де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані одиницями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.

Степені одиниці[ред. | ред. код]

Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: 1n = 1.

Степені нуля[ред. | ред. код]

Якщо показник степеня є додатним числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: 0n = 0, де n > 0.

Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0n, де n < 0) є невизначеною, оскільки було виконано ділення на нуль.

Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як 00 = 1, в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.

Степені мінус одиниці[ред. | ред. код]

Якщо n є парним цілим, тоді (−1)n = 1.

Якщо n є непарним цілим числом, тоді (−1)n = −1.

Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних послідовностей.

Великі степені[ред. | ред. код]

Границя числової послідовності степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження:

bn → ∞ при n → ∞ якщо b > 1

Це читається як «b у степені n прямує до +∞ при n, що прямує до нескінченності коли b є більшою за одиницю».

Степені чисел із абсолютним значенням, що менше одиниці прямують до нуля:

bn → 0 при n → ∞ якщо |b| < 1

Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці:

bn = 1 для всіх n якщо b = 1

Степені числа –1 чергують значення 1 і –1 при тому n змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні n.

Якщо b < –1, bn, чергується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як n чергується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні n.

Якщо значення числа, що підноситься до степеня, змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є

(1 + 1/n)ne при n → ∞

Степеневі функції[ред. | ред. код]

Степеневі функції для
Степеневі функції для

Функції дійсних значень вигляду із називають степеневими функціями. Коли є цілим числом і , існує дві основні різновидності: для парних і непарних . В загальному випадку для , якщо є парним числом із збільшенням буде прямувати до нескінченності із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні . Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для , маючи більш плоску форму в середині із збільшенням [13]. Функції із таким видом симетрії () називаються парними функціями.

Коли є парним, має асимптотичну поведінку яка змінюється від додатних до від'ємних . Для , також прямуватиме до нескінченності зі знаком плюс при збільшенні , але при зменшенні прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для , маючи більш плоску гладку форму в середині зі збільшенням і втрачають усю гладкість, перетворюючись у пряму лінію для . Функції з таким видом симетрії () називаються непарними функціями.

Для , асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається в усіх випадках[13].

Список степенів цілих чисел[ред. | ред. код]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4 096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1 296 7 776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4 096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000  100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Раціональні показники[ред. | ред. код]

Зверху до низу вказані графіки функцій: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

Коренем n-го степеня числа b є число x таке що xn = b.

Якщо b є додатним дійсним числом і n є додатним цілим, тоді існує лише одне додатне дійсне значення, що є розв'язком рівняння xn = b. Цей розв'язок називається головним коренем n-го степеня для b. Він позначається виразом nb, де    символ корінь; аналогічним чином, головний корінь можна записати як b1/n. Наприклад: 41/2 = 2, 81/3 = 2.

Факт, що є розв'язком для , випливає із наступного запису:

Якщо n є парним, тоді xn = b при умові, що b додатне число, має два дійсні розв'язки, якими є додатний і від'ємний корені n-го степеня, тобто, b1/n > 0 і −(b1/n) < 0. Якщо b від'ємне, то рівняння не має розв'язку у вигляді дійсного числа при парних n.

Якщо n непарне, тоді xn = b має лише один дійсний розв'язок. Розв'язок буде b1/n додатним, якщо b є додатним, і від'ємним, якщо b від'ємне.

Піднесення додатного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u є цілим і v є додатним цілим, і при розгляданні лише головних коренів, є наступним

Піднесення від'ємного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u/v є правильним дробом, дає результат, що є додатним дійсним числом, якщо u є парним, і таким чином v є непарним, оскільки тоді bu є додатним; і дає від'ємний дійсний результат, якщо u і v обидва є непарними, оскільки тоді bu є від'ємним. Випадок, коли u є непарним, а v є парним, не можна визначити в рамках дійсних чисел, оскільки не існує такого дійсного числа x, щоб x2k = −1; при задаванні значення bu/v у такому випадку необхідно використовувати уявну одиницю i.

Дійсні показники степеня[ред. | ред. код]

Тотожності й властивості, вказані вище для цілих степенів, є вірними і для додатних дійсних чисел з нецілими показниками. Однак рівність

не може послідовно поширюватися на випадки, коли b є від'ємним дійсним числом. Невірність цієї рівності є основою проблеми, що озвучується щодо степенів комплексних чисел.

Границі раціональних степенів[ред. | ред. код]

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

де  — раціональні числа, то

.

Показникова функція[ред. | ред. код]

Одна з важливих математичних констант e, що також називається числом Ейлера, приблизно дорівнює 2,718 і є основою натурального логарифму. Хоча піднесення у степінь числа e, по суті, можна трактувати як піднесення у степінь будь-якого іншого дійсного числа, такі степені, як виявилося, мають свої корисні і витончені властивості. Серед іншого, ці властивості дають змогу узагальнити степені e природним способом до інших типів степенів, як-от степені комплексних чисел або навіть матриць.

Як правило, нотація ex зазвичай позначає узагальнене поняття експонування і називається показниковою функцією, exp(x), яку можна визначити багатьма способами[en], наприклад таким:

Крім інших властивостей, exp задовольняє степеневе рівняння

Показникова функція є визначеною для всіх цілих, дрібних, дійсних і комплексних значень змінної x. Експонента матриці добре визначена для квадратних матриць (у випадку яких експоненційне рівняння виконується, лише коли матриці x і y є комутативними) і є корисною для вирішення систем лінійних диференційних рівнянь.

Дії зі степенями[ред. | ред. код]

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями[14]:

1. При перемножуванні двох або більше різних степенів з однаковими основами показники степеня додаються

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

3. При піднесені числа в якомусь степені до іншого степеню показники перемножуються.

4. При піднесенні будь-якого числа (окрім нуля) в степінь із показником 0 одержуємо 1, так

5. При піднесенні числа до степеню з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатним степенем. Таким чином,

.

Аналогічно,

6. При піднесенні числа до дробового степеню, знаменник цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

Функції[ред. | ред. код]

У комбінаториці[ред. | ред. код]

Докладніше: Розміщення

У комбінаториці кількість можливих розміщень із повтореннями із n елементів по m дорівнює nm[15]:

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти тризначних числа.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». .
  2. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка- XXI», 2008. — 544 с.
  3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Примітки[ред. | ред. код]

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». 
  2. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Etymology of some common mathematical terms в архіві MacTutor (англ.)
  3. For further analysis see The Sand Reckoner.
  4. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi в архіві MacTutor (англ.)
  5. Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 ISBN 1602066841
  6. René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. [Архівовано 8 жовтня 2017 у Wayback Machine.] From page 299: " … Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; … " (… and aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; …)
  7. See:
    • Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics [Архівовано 23 грудня 2017 у Wayback Machine.]
    • Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. [Архівовано 13 березня 2019 у Wayback Machine.] Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: «Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.» (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший — 1, 1ʓ — 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, у свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x2), and cubus (x3).]
  8. Quinion, Michael. Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number. World Wide Words. Архів оригіналу за 16 січня 2018. Процитовано 19 березня 2010. 
  9. Це визначення «інволюції» з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster [1] [Архівовано 1 листопада 2007 у Wayback Machine.]. Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року.
  10. Леонард Ейлер (1748) Введення в аналіз нескінченно малих[en], англ. видання, сторінка 75
  11. Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (вид. 3rd). Industrial Press. с. 101. ISBN 0-8311-3086-5. 
  12. Raphael M. Robinson (1958). A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers (pdf). Proc. Amer. Math. Soc. 9: 677. Архів оригіналу за 28 червня 2020. Процитовано 15 січня 2018. 
  13. а б Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2009). Calculus: Early Transcendentals (вид. 9th). John Wiley & Sons. с. 28. 
  14. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник — С. 27
  15. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Див. також[ред. | ред. код]