Стискна теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Формальне означення стискної теореми (англ. squeeze theorem) таке:

Нехай I це інтервал, для якого точка a - гранична точка. Нехай f, g і h будуть функціями визначеними на I, можливо окрім точки a. Припустимо, що для кожної точки x в I, яка не дорівнює a, маємо:

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \,

і також приступне таке:

\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L. \,

Тоді \lim_{x \to a} f(x) = L.

  • Функції g і h називають верхньою та нижньою границями (відповідно) f.
  • Тут a не мусить бути у внутрішності I. І дійсно, якщо a є кінцевою точкою I, тоді наведені вище границі є лівою або правою границями.
  • Схоже твердження чинне для нескінченних інтервалів, якщо I = (0, ∞), тоді висновок чинний, з границею при x → ∞.

Доведення[ред.ред. код]

Проведемо доведення із використанням (ε, δ) означення границі, тобто нам потрібно довести, що для кожного дійсного ε > 0 існує дійсне δ > 0 таке, що для всіх x з 0 < |x − a | < δ, виконується -ε <f(x) − L < ε. Тобто,

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x - a | < \delta \ \Rightarrow \ - \varepsilon < f(x) - L < \varepsilon)..

Те, що

\lim_{x \to a} g(x) = L

значить, що

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta 1 > 0 : \forall x\ (0 < |x - a| < \delta 1 \ \Rightarrow \ - \varepsilon < g(x) - L < \varepsilon). (1)

і

\lim_{x \to a} h(x) = L

значить, що

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta 2 > 0 : \forall x\ (0 < |x - a | < \delta 2\ \Rightarrow \ - \varepsilon < h(x) - L < \varepsilon)., (2)

тоді ми маємо

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \,
g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\,

Ми можемо обрати δ таке, що δ < δ1 і δ < δ2. Тоді, якщо |x - a|<δ, поєднавши (1) і (2), отримаємо

 - \varepsilon < g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\ < \varepsilon,
 - \varepsilon < f(x) - L < \varepsilon

, що й треба було довести.

Приклад[ред.ред. код]

Перший приклад[ред.ред. код]

x2 sin(1/x) затиснута як x прямує до 0

Границю

\lim_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x})

неможливо встановити через закон

\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)) = 
\lim_{x \to a}f(x)\cdot \lim_{x \to a}g(x),

бо

\lim_{x\to 0}\sin(\tfrac{1}{x})

не існує.

Однак, з визначення синуса,

-1 \le \sin(\tfrac{1}{x}) \le 1. \,

Випливає, що

-x^2 \le x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \le x^2 \,

З того, що \lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0, за стискною теоремою, \lim_{x\to 0} x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) повинен бути 0.

Другий приклад[ред.ред. код]

Ймовірно найвідоміші приклади віднайдення границі через затискання — це доведення того, що


\begin{align}
& \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1, \\[10pt]
& \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0.
\end{align}

Перший випливає з використання стискної теореми і факти, що

 \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

для x досить близького, але не рівного 0.

Ці дві границі використовуються для доведення того, що похідна синуса є косинус. На цей факт спираються доведення значень похідних для інших тригонометричних функцій.

Посилання[ред.ред. код]