Стискуюче відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стискуючим відображенням у метричному просторі називається відображення яке, умовно кажучи, зменшує відстані між точками.

Нехай F \subset \mathbb{M}підмножина метричного простору (\mathbb{M}, \rho) і на F визначено відображення f: F \to F. Воно називається стискуючим на F, якщо \exists\alpha\in(0; 1): для {\forall}x,y\in F \to{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}.

Довільне стискуюче відображення є відображенням Ліпшиця і, як наслідок, рівномірно неперервним відображенням.

Довільне стискуюче відображення має щонайбільше одну нерухому точку, тобто точку \mathbb{}x^{*}: f(x^{*})=x^{*}. Згідно з теоремою Банаха якщо дане відображення задано на замкнутій підмножині повного метричного простору то існує єдина нерухома точка, причому ітераційна послідовність x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... збігається до цієї точки.

Джерела[ред.ред. код]