Стохастичне числення Іто

Числення Іто — математична теорія, що описує методи маніпулювання з випадковими процесами, такими як броунівський рух (або вінерівський процес). Названа на честь творця, японського математика Кійосі Іто. Часто застосовується в фінансовій математиці і теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Центральним поняттям цієї теорії є інтеграл Іто

$Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,$

де $X$ — броунівський рух або, в загальнішому формулюванні, напівмартингал. Можна показати, що шлях інтегрування для броунівського руху не можна описати стандартними техніками інтегрального числення. Зокрема, броунівський рух не є інтегрованою функцією в кожній точці шляху і має нескінченну варіацію на будь-якому часовому інтервалі. Таким чином, інтеграл Іто не може бути визначений у сенсі інтеграла Рімана — Стілтьєса. Проте, інтеграл Іто можна визначити строго, якщо помітити, що підінтегральна функція $H$ є адитивним процесом; це означає, що залежність від часу $t$ його середнього значення визначається поведінкою тільки до моменту $t$.

Позначення

$\int\limits_0^t H\,dX\equiv\int\limits_0^t H_s\,dX_s$

Інтегрування броунівського руху

$\int\limits_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).$

Процес Іто

$X_t=X_0+\int\limits_0^t\sigma_s\,dB_s+\int\limits_0^t\mu_s\,ds.$

Семімартингали, як інтегратори

$\int\limits_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).$

Властивості

$J\cdot (K\cdot X) = (JK)\cdot X$

$[H\cdot X]=H^2\cdot[X]$

Інтегрування частинами

$X_tY_t = X_0Y_0+\int\limits_0^t X_{s-}\,dY_s + \int\limits_0^t Y_{s-}\,dX_s + [X,Y]_t$

Лема Іто

$df(X_t)= \sum_{i=1}^d f_{,i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{,ij}(X_{t})\,d[X^i,X^j]_t.$

Мартингали-інтегратори

Квадратично інтегровні мартингали

$\mathbb{E}\left((H\cdot M_t)^2\right)=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^t H^2\,d[M]\right).$

Стохастична похідна

$\mathbb{D}_{B_{t}} S_{t}= \frac{\mathrm{d} \langle S, B \rangle_{t}}{\mathrm{d} \langle B, B \rangle_{t}} =\frac{\mathrm{d} \langle S, B \rangle_{t}}{\mathrm{d} t},$

$\mathbb{D}_{B_{t}} \int\limits_{0}^{t} X_{s} \mathrm{d} B_{s} = X_{t},$   and   $\int\limits_{0}^{t} \mathbb{D}_{B_{s}} S_{s} \mathrm{d} B_{s}= S_{t} - S_{0} - V_{t}.$

Див. також

• Вінерівський процес
• інтеграл Стратоновича

Посилання

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Література

• Allouba, Hassan A Differentiation Theory for Itô's Calculus // Stochastic Analysis and Applications. — Т. 24. — (2006) С. 367-380. DOI 10.1080/07362990500522411.
• Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
• He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
• Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
• Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
• Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.