Стояча хвиля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Стояча хвиля

Стоя́ча хви́ля — тип коливань у неперервному середовищі, при яких кожна точка середовища здійснює періодичний рух зі сталою амплітудою, залежною від її положення.

Стоячі хвилі не переносять енергію.

У випадку гармонічних коливань в одновимірному середовищі стояча хвиля описується формулою.

$u = u_0 \cos kx \cos(\omega t - \varphi)$ ,

де u — збурення в точці х в момент часу t, $u 0$ — амплітуда стоячої хвилі, $ω$ — частота, k — хвильовий вектор, $\varphi$ — фаза.

Стоячі хвилі є розв'язками тих же хвильових рівнянь. Їх можна уявити собі, як суперпозицію хвиль, що розповсюджуються в протилежних напрямках.

При існуванні в середовищі стоячої хвилі, існують точки, амплітуда коливань у яких дорівнює нулю. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки, в яких коливання мають максимальну амплітуду називаються пучностями.

[ред.] Моди

Моди коливань струни

Стоячі хвилі виникають у резонаторах. Скінченні розміри резонатора накладають додаткові умови на існування таких хвиль. Зокрема, для систем скінченних розмірів хвильовий вектор (а, отже, довжина хвилі) може приймати лише певні дискретні значення. Коливання із певними значеннями хвильового вектора називаються модами.

Наприклад, різні моди коливань затиснутої на кінцях струни визначають її основний тон і обертони.

[ред.] Математичний опис стоячих хвиль

В одновимірному випадку дві хвилі одинакової частоти, довжини хвилі та амплітуди, що розповсюджуються в протилежних напрямках (напприклад назустріч одна одній), будуть взаємодіяти в результаті чого може виникнути стояча хвиля. Наприклад, гармонічна хвиля розповсюджуючись вправо, досягаючи кінця струни, продукує стоячу хвилю. Хвиля, що відбивається від кінця повинна мати таку саму амплітуду та частоту, як і падаюча хвиля.

Розглянемо падаючу та відбиту хвилі у вигляді:

$y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)$

$y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t)$

де:

y₀ - амплітуда хвилі,
$ω$ - циклічна (кутова) частота, що вимірюється в радіанах за секунду,
k - хвильовий вектор, вимірюється в радіанах на метр, і є $2π$ поділений на довжину хвилі $λ$ ,
x та t - змінні для позначення довжини та часу.

Тому результуюче рівняння для стоячої хвилі y буде у вигляді суми y₁ та y₂:

$y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).$

Використовуючи тригонометричні співвідношення, це рівняння можна переписати у вигляді:

$y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).$

Якщо розглядати моди $x = 0,λ / 2,3λ / 2,...$ та антимоди $x = λ / 4,3λ / 4,5λ / 4,...$ , то відстань між сусудніми модами/антимодами буде рівна половині довжини хвилі $λ / 2$ .

[ред.] Хвильове рівняння

Для того, щоб отримати стоячі хвилі, як результат розв'язку однорідного диференційного хвильового рівняння (Даламбера)

$\left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 x}{\partial^2 t}\right )u = 0$

необхідно відповідним чином задати його крайові умови (закріпити кінці струни, наприклад).

В загальному випадку неоднорідного диференційного рівняння:

$\left (\nabla^2 - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 x }{\partial^2 t} \right) u = f_0 u$ ,

де $f 0 -$ виконує роль "сили", за допомогою якої здійснюється зміщення в певній точці струни, стояча хвиля виникає автоматично.

[ред.] Посилання

Vibrations and Waves - a chapter from an online textbook
Standing Waves experiment Shows how the point moves with frequency change.
Java applet of standing waves on a vibrating string.
Java applet of transverse standing wave
[http://www.phy.hk/wiki/english

Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Стояча хвиля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Моди

[ред.] Математичний опис стоячих хвиль

[ред.] Хвильове рівняння

[ред.] Посилання

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами