Струмінь (математика)

Струмінь відображення $f$ на многовиді $M$ — це операція, що співставляє кожній точці $x$ із $M$ деякий поліном (обрізаний поліном Тейлора $f$ в точці $x$). З точки зору теорії струменів ці поліноми розглядаються не як поліноміальні функції, а як абстрактні алгебричні багаточлени, що залежать від точки многовиду.

Два відображення $f,{\tilde {f}}:\mathbb {R} \rightarrow M$ мають однаковий $k$-струмінь у точці $x\in \mathbb {R} ,$ якщо $f(x)={\tilde {f}}(x)$ та якщо у будь-якій локальній карті у окілі точки $f(x)$ розклади у ряд Тейлора функцій $f(x)$ та ${\tilde {f}}(x)$ збігаються до порядку $k$ включно. Клас еквівалентності, який визначається відображенням $f$, позначається $(j^{k}f)(x).$ Сукупність усіх $k$-струменів утворює многовид струменів $J^{k}(M,\mathbb {R} )$, де координата на $\mathbb {R}$ й довільна локальна карта $y^{\alpha }$ на $M$ визначають деяку систему координат на $J^{k}(M,\mathbb {R} ).$

Многовидом 1-струменів $J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )$ функцій на $B^{n}$ називається многовид $M^{2n+1}=T^{*}B^{n}\times \mathbb {R}$ із контактною 1-формою $dz-p\,dq$ (де $p\,dq$ — форма дії на фазовому просторі $T^{*}B^{n},$ a $z$ — координата). Наприклад, якщо $B^{n}=S^{1}$ є окружністю, то многовид $J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )$ є дифеоморфним повноторію (внутрішності $S^{1}\times \mathbb {R}$ двохвимірного тору). На цьому многовиді визначені координати ($q(\mathrm {mod} \,\,2\pi ),p,z$).Лежандровим підмноговидом ${\mathfrak {M}}^{n}\subset M^{2n+1}$ є підмноговид, на якому контактна 1-форма перетворюється на нуль. Наприклад, будь-якій функції $g:B^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ відповідає лежандровий переріз ${\mathfrak {M}}^{n}$ розшарування $J^{1}(B_{n},\mathbb {R} )\rightarrow B^{n}$, задане формулами

$p={\frac {\partial g}{\partial q}},\quad \quad z=g(q).$

Многовид ${\mathfrak {M}}$ залежить лише від функції $g,$ а не від вибору локальної карти; ця формула зіставляє точці $q\in B^{n}$ кодотичний вектор $dg$ та число $g(q).$ Вкладений лежандровий підмноговид ${\mathfrak {M}}^{n}\subset J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )$ є квазіфункцією на $B^{n}$ якщо він належить компоненті зв'язності нульового перерізу ($p=0,z=0$) у просторі вкладених лежандрових підмноговидів многовиду 1-струменів функцій на $B^{n}.$ Проєкція квазіфункції з простору 1-струменів у фазовий простір (при натуральному відображенні забування значення функції) є точним лагранжевим підмноговидом у $T^{*}B^{n}.$ Цей підмноговид може виявитися не вкладеним, а лише зануреним у $T^{*}B^{n}$ (самопересічним). Усілякий точний лагренжевий підмноговид $L^{n}$, занурений до $T^{*}B^{n},$ отримується цим способом з деякого лежандрового многовиду ${\mathfrak {M}}^{n}\in J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )$ (який є визначеним із точністю до зсувів осі $z,$ якщо $L^{n}$ є зв'язним). Однак, ${\mathfrak {M}}^{n}$ може бути лише зануреним (самопересічним у (2n+1)-вимірному многовиді струменів $J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )$).

Теорема Чеканова

Нехай $E=M\times W,{\mathfrak {M}}$ — $E$-квазіфункція. Тоді число точок самоперетину проєкції ${\mathfrak {M}}$ у $T^{*}M$ загального положення не менше, ніж ${\frac {1}{2}}[\sum b_{i}(M)(\sum b_{i}(W))^{2}-\sum b_{i}({\mathfrak {M}})].$

Квазіфункція на окружності $B^{n}=S^{1}$ має не менше двох квазікритичних точок. Проєкції усіх лежандрових вузлів із компоненти, яка містить ${\mathfrak {M}}$ у $T^{*}S^{1},$ мають принаймні три точки самоперетину із врахуванням кратності. Достатньо у процесі гомотопії припустити один самоперетин, і можна отримати лежандровий многовид ${\mathfrak {M}}_{1},$ гомотопний у класі лежандрових вкладень многовиду ${\mathfrak {M}}_{2},$ у якого одна точка самоперетину проєкції у $T^{*}S^{1}.$

Струмені на еклідовому просторі

Аналітичне означення

Струмені і простори струменів можуть бути означені, використовуючи принципи математичного аналізу. Означення можна узагальнити на гладкі відображення між банаховими просторами, аналітичними функціями у дійсній або комплексній області, на $p$-адичний аналіз тощо.

Нехай $X,Y$ — гладкі многовиди. Гладкі відображення $f,g:X\rightarrow Y$ є $p$-еквівалентними у точці $x\in X,$ якщо $f(x)=g(x),$ та у цій точці частинні похідні до порядку $p$ включно є однаковими. Це визначення є інваріантним відносно вибору локальних координат як у $X,$ так й у $Y,$ тому воно визначає геометричний об'єкт — струмінь відображення. Конкретніше, струмінь порядку $p$, який задається відображенням $f,$ є класом еквівалентності відображень по відношенню $j_{x}^{p}f.$ Точка $x$ є початком струменя, а її образ $f(x)$ — кінцем струменя. Множина $p$-струменів, імерсійованих до $Y$ з початком $x$ та кінцем $y$ позначається $J_{x,y}^{p}(X,Y).$

Множина $p$-струменів утворює диференціальну групу порядку $p$ у точці $0\in \mathbb {R} ^{n}$ усеможливих дифеоморфізмів окілів цієї точки, залишаючих її нерухомою. Таким чином, $D_{n}^{p}$ є групою із добутком, який визначається композицією струменів:

$j_{0}^{p}(g)\circ j_{0}^{p}(h){\overset {def}{=}}j_{0}^{p}(g\circ h).$

Ідемпотент цієї групи є струменем тотожного відображення. Зворотним елементом до $j_{0}^{p}(g)$ є $0\in \mathbb {R} ^{n}$-струмінь дифеоморфізму, зворотного до $g.$ Репером $e_{x}^{p}$ порядку $p$ у точці $x$ многовиду $M$ є $p$-струмінь $j_{0}^{p}(f)$ дифеоморфізму $f:(\mathbb {R} ^{n},0)\rightarrow (M,x),$ де $(\mathbb {R} ^{n},0)$ та $(M,x)$ — окіли точок $0$ та $x$ відповідно.

Многовид $H^{p}(M)$ усіх $p$-реперів наділений структурою головного розшарування над базою $M$ із канонічною проєкцією $\pi _{p}:H^{p}(M)\rightarrow M,$ де $\pi _{p}(e_{x}^{p})=x,$ та праводіючою диференціальною групою $D_{n}^{p}$ порядку $p$. Стандартні координати у $\mathbb {R} ^{n}$ породжують глобальну карту на $D_{n}^{p}$ із координатами

$(u_{j}^{i}(l^{p})),u_{jk}^{i},...,u_{j_{1}...j_{p}}^{i}(l^{p}),\quad \quad l^{p}\in D_{n}^{p},$

симетричними по нижнім індексам.

Нехай $T^{2}\mathbb {R} ^{n}=J_{0,0}^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}).$ На асоційованому розшаруванні визначена лівостороння дія групи $D_{n}^{2}$ за законом композиції 2-струменів:

$d^{2}\cdot \xi :\xi \mapsto d^{2}\circ \xi ,\quad \quad \xi \in T^{2}\mathbb {R} ^{n},\quad d^{2}\in D_{n}^{2}.$

На декартовому добутку $P^{2}M\times T^{2}\mathbb {R} ^{n}$ визначена правостороння дія цієї групи:

$(e_{x}^{2},\xi )\cdot d^{2}=(e_{x}^{2}\cdot d^{2},\,(d^{2})^{-1}\cdot \xi ).$

Многовид $E$ орбіт відносно даної дії є розшаруванням над $M,$ асоційованим із $P^{2}M,$ канонічна проєкція $\lambda$ з $P^{2}M\times T^{2}\mathbb {R} ^{n}$ на $E$ визначається за законом

$\lambda :(e_{x}^{2},\xi )\mapsto (e_{x}^{2},\xi )\cdot D_{n}^{2}{\overset {def}{=}}\langle e_{x}^{2},\xi \rangle ,$

а дія групи $D_{n}^{2}$ на розшаруванні $E$ визначається як

$\langle e_{x}^{2},\xi \rangle \cdot l^{2}=\langle e_{x}^{2}\cdot l^{2},\xi \rangle .$

Простір $E$ ототожнюється із многовидом 2-швидкостей на $M$

$T^{2}M=\bigcup _{x\in M}J_{0,x}^{2}(\mathbb {R} ,M)$

посередництвом дифеоморфізму $\mu :E\rightarrow T^{2}M,\,\,\,\langle e_{x}^{2},\xi \rangle \mapsto e_{x}^{2}\circ \xi .$

Література

• Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М : Наука, 1986.
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886