Субдиференціал

У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу.

Визначення

Нехай $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ — функція на евклідовому просторі $\mathbb{R}^n.$ Вектор $g \in \mathbb{R}^n$ називається субградієнтом функції $f(x)$ в точці $\bar{x} \in \mathbb{R}^n,$ якщо справджується нерівність

$g\in\mathbb{R}^n:f(x)-f(\bar x)\geq g^{T}(x-\bar x) \quad \forall x\in\mathbb{R}^n\}$

Множина всіх субградієнтів називається субдиференціалом функції f(x) в точці $\bar{x}$ і позначається $\partial f(\bar x)$. Використовуючи математичну символіку можна записати визначення субдиференціалу:

$\partial f(\bar x)=\{g\in\mathbb{R}^n:f(x)-f(\bar x)\geq g^{T}(x-\bar x) \quad \forall x\in\mathbb{R}^n\}$

Приклад

Для функції $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto|x|$ однієї дійсної змінної маємо:

$\partial f(\bar x)=\begin{cases}\{-1\} & \bar x<0\\ \left[-1,1\right] & \bar x=0\\ \{1\} & \bar x>0\end{cases}$

Див. також

• Опукла функція

Джерела

• Моклячук М.П. Основи опуклого аналізу. К.:ТвіМС, 2004. – 240с.
• М.П.Моклячук, Негладкий аналіз та оптимізація
• J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.