Сублінійна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сублінійною функцією в математиці називається функція f: V \rightarrow \R над дійсним векторним простором V (більш загально замість поля дійсних чисел можна розглядати довільне впорядковане поле), для якої виконуються такі умови:

f(\gamma x ) =  \gamma f\left( x\right)   для всіх \gamma\in 
\mathbb{R}_+ і всіх x ∈ V (додатна однорідність),
f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)  для всіх xy ∈ V (субадитивність).

Еквівалентні визначення[ред.ред. код]

Еквівалентно у визначенні умову субадитивності можна замінити умовою опуклості, згідно з якою для функції має виконуватися нерівність:

f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)  для всіх xy ∈ V і 0 \leqslant \gamma \leqslant 1.

Справді, якщо функція є додатно однорідною і опуклою то:

f(x + y) = 2 f \left( \frac {x + y}{2} \right) \leqslant 2 \left ( f \left( \frac {x + y}{2} \right) + f \left( \frac {x + y}{2} \right) \right) = f(x) + f(y).

З сублінійності і додатної однорідності теж, очевидно, випливає опуклість. Зважаючи на це альтернативне визначення такий тип функцій іноді називають однорідно-опуклими. Інша поширена назва функціонал Банаха, зважаючи на появу такого типу функціоналів у твердженні теореми Гана — Банаха.

Інше альтернативне визначення: функція f: V \rightarrow \R є сублінійною тоді і лише тоді коли виконується умова:

f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)  для всіх xy ∈ V і всіх 0 < \gamma, \delta.

Приклади[ред.ред. код]

3. Нехай M — простір обмежених послідовностей x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots). Функціонал:

f(x) = \sup_i |x_i|

є сублінійним.

Властивості[ред.ред. код]

  • f(0) = 0. Дане твердження одержується підстановкою x = 0 в рівняння додатної однорідності.
  • Ненульова сублінійна функція може бути невід'ємною, але якщо f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V тоді дана функція всюди рівна нулю. Це випливає з нерівності:
0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V

згідно з якою, якщо f(x) є від'ємним числом, то f(-x) має бути додатним.

  • Для будь-якого \gamma виконується нерівність:
f(\gamma x ) \geqslant  \gamma f\left( x\right)

При \gamma > 0 це випливає з означення додатної однорідності, при \gamma = 0 - з першої властивості, якщо ж \gamma < 0, то з нерівності у попередній властивості отримуємо:

0  \leqslant  f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f( x)

або:

f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f( x) = \gamma f( x).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]