Сума Мінковського

Червона фігура є сумою синьої та зеленої фігур

В геометрії, Сумою Мінковського (англ. minkowski sum) двох множин радіус-векторів A і B у евклідовому просторі утворюється додаванням кожного вектора з A до кожного вектора з B, тобто множина

$A+B=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \mid \mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}.$

• 
  Сума Мінковського A + B
• 
  B
• 
  A

Приклад

В опуклій оболонці червоної множини, кожна синя точка є опуклою комбінацією якихось червоних точок

Сума Мінковського двох квадратів Q₁=[0,1]² і Q₂=[1,2]² це квадратQ₁+Q₂=[1,3]².

Наприклад, якщо ми маємо дві множини A і B, кожна з трьох радіус-векторів (неформально, трьох точок), що представляють вершини двох трикутників у $\mathbb {R} ^{2}$, з координатами

A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)} 

і

B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)} ,

тоді сума Мінковського є
A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)} , яка виглядає як шестикутник, з трьома точками, що повторюються в (1, 0).

Для додавання Мінковського, нульова множина {0}, що містить лише нульовий вектор 0, є нейтральним елементом: Для будь-якої підмножини S, векторного простору

S + {0} = S;

Порожня множина важлива для додавання Мінковського, бо вона знищує будь-яку іншу підмножину: для будь-якої підмножини, S, векторного простору, його сума з порожньою множиною — порожня множина: S + $\emptyset$ = $\emptyset$.

Прочісування одного опуклого об'єкту іншим

Алгоритм для опуклих многокутників

Кут між вектором ${\overline {pq}}$ та віссю $x.$

В алгоритмі ми використовуємо поняття кута між вектором ${\overline {pq}}$ та віссю $x.$

Алгоритм СУМА_МІНКОВСЬКОГО$({\mathcal {P}},{\mathcal {R}})$ Вхід. Опуклий многокутник ${\mathcal {P}}$ з вершинами $v_{1},\cdot ,v_{n},$ і опуклий многокутник ${\mathcal {R}}$ з вершинами $w_{1},\cdots ,w_{m}.$ Списки вершин повинні бути впорядковані проти годинникової стрілки, а $v_{1},w_{1}$ повинні мати найменші $y$-координати (і найменші $x$-координати у випадку кількох вершин з найменшою $y$-координатою). Вихід. Сума Мінковського ${\mathcal {P}}\oplus {\mathcal {R}}$. $i\leftarrow 1;j\leftarrow 1$ $v_{n+1}\leftarrow v_{1};v_{n+2}\leftarrow v_{2};w_{m+1}\leftarrow w_{1};w_{m+2}\leftarrow w_{2}$ повторювати  Додати $v_{i}+w_{j}$ як вершину у ${\mathcal {P}}\oplus {\mathcal {R}}$.  якщо $\angle (v_{i}v_{i+1})<\angle (w_{j}w_{j+1})$  тоді $i\leftarrow (i+1)$  інакше якщо $\angle (v_{i}v_{i+1})>\angle (w_{j}w{j+1})$   тоді $j\leftarrow (j+1)$   інакше $i\leftarrow (i+1);j\leftarrow (j+1)$ допоки $(i=n+1$ та $j=m+1)$

Алгоритм виконується за лінійний час.

Обчислення суми Мінковського для неопуклих многокутників не дуже складне: тріангулювати обидва многокутники, обчислити суму Мінковського для кожної двійки трикутників і об'єднати їх.

Теорема: Нехай ${\mathcal {P,R}}-$ многокутники з $n,m$ вершинами відповідно. Складність суми Мінковського ${\mathcal {P}}\oplus {\mathcal {R}}$ має такі границі:

• це $O(n+m)$ якщо обидва многокутники опуклі;
• це $O(nm)$ якщо один з многокутників опуклий і один неопуклий;
• це $O(n^{2}m^{2})$ якщо обидва многокутники неопуклі.

Ці границі тугі в найгіршому випадку.

Варіації та узагальнення

• Множина сум — аналогічне визначення для підмножин груп у адитивній і арифметичній комбінаториці. Нарівні зі сумами розглядаються множини добутків $A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$ та інші операції.

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Сума Мінковського, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4