Супереліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Супереліпси (криві Ламе)

Супереліпс (крива Ламе) — плоска крива, що у декартових координатах описується рівнянням:

\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1,

де n > 0;

a і b — радіуси (півосі) супереліпса.

Для випадку n = 2 отримуємо еліпс (у частковому випадку, при a = b — коло), а при n = 1 — ромб з діагоналями 2a та 2b. Коли збільшувати n до нескінченості, крива прямує за формою до прямокутника; натомість коли n прямує до нуля, крива набуває хрестоподібної форми.

Фігури, що отримані для n < 2 ще називають «гіпоеліпс», а для n > 2 — «гіпереліпс».

Супереліпс може бути описаний парою рівнянь в параметричній формі:

\left.
\begin{align}
 x\left(\theta\right) &= \plusmn a\cos^{\frac{2}{n}} \theta \\
 y\left(\theta\right) &= \plusmn b\sin^{\frac{2}{n}} \theta
\end{align} \right\} \qquad 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}

або


\begin{align}
 x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\
 y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin \theta).
\end{align}

Площа супереліпса виражається формулою

 S = 4 a b \frac{\left(\Gamma \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\right)^2}{\Gamma \left(1+\tfrac{2}{n}\right)}.

Історична довідка[ред.ред. код]

Транспортна розв'язка на площі Сергельсторг у центрі Стокгольма

Криві вперше були записані і вивчені французьким математиком Габрієлем Ламе, тому їх ще називають «криві Ламе».

Популяризацією цих кривих в архітектурі та при проектуванні предметів щоденного вжитку займався данський вчений, письменник, винахідник та інженер Піт Хейн (дан. Piet Hein; 1905—1996). У 1959 році архітектурне управління Стокгольма оголосило конкурс на проектування перехрестя з коловим рухом навколо площі Сергельсторг. Піт Хейн став переможцем конкурсу з пропозицією реалізувати транспортне кільце у вигляді супереліпса з n = 2,5 та a/b = 6/5[1]. Реконструкцію площі було закінчено у 1967 році. Хейн використовував супереліпс в інших дизайнерських розробках — ліжках, тарілках, столах[2]. При обертанні супереліпса навколо довгої осі, він отримав «суперяйце», яке стало популярною іграшкою за свою здатність на відміну від звичного яйця стояти вертикально на плоскій поверхні.

У 1968 році, коли делегації на переговорах в Парижі по війні у В'єтнамі не могли прийти до згоди щодо форми стола, було запропоновано стіл у вигляді супереліпса[1]. Супереліптичну форму має стадіон «Ацтека» в Мехіко, головний стадіон Олімпійських ігор 1968 року.

На логотипі футбольної команди «Піттсбург Стілерс» зображені три чотирикутних зірки, що є супереліпсами з n = 0,5.

Узагальнення[ред.ред. код]

Супереліпс може розглядатись як частковий випадок суперформули, записаної у 1997 році бельгійським вченим Йоханом Джилісом (англ. Johan Gielis). Тривимірним відповідником супереліпса є суперквадрікс (англ. Superquadrics). В частковому випадку, коли a = b = 1 та n парне ціле число, супереліпс є кривою Ферма степеня n.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Gardner, Martin (1977), «Piet Hein’s Superellipse», Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press, сторінки 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5 
  2. The Superellipse, in The Guide to Life, The Universe and Everything by BBC (27th June 2003)

Посилання[ред.ред. код]