Супереліпсоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклади супереліпсоїдів

Супереліпсоїд  — геометричне тіло, поперечними перерізами якого є супереліпсами (криві Ламе) із сталим показником степеня r, а вертикальні перерізи — супереліпсами із показником степеня t[1][2]. Деякі супереліпсоїди є суперквадриками, однак жодне з цих сімейств не є підмножиною іншого.

Частковим випадком супереліпсоїда є суперяйце, запропоноване Пітом Хейном.

Математичний опис[ред.ред. код]

Базова форма[ред.ред. код]

Базовий супереліпсоїд визначається рівнянням

 \left( \left|x\right|^{r} + \left|y\right|^{r} \right)^{t/r} + \left|z\right|^{t} \leq 1.

Параметри r та t — додатні дійсні числа, що визначають форму фігури, у частковому випадку — ступінь площинності полюсів і екватора. Коли t = r, супереліпс стає частковим випадком суперквадриків.

Довільний горизонтальний переріз супереліпсоїда площиною z = b, де -1 < b < +1, є кривою Ламе з показником степеня r, і масштабним коефіцієнтом

 a = (1 - \left|z\right|^{t})^{1/t};
 \left|\frac{x}{a}\right|^{r} + \left|\frac{y}{a}\right|^{r} \leq 1.

Довільний переріз меридіональною площиною, що проходить через вісь симетрії також є кривою Ламе з показником степеня t і видовженою в горизонтальному напрямку з коефіцієнтом w, що залежить від положення січної площини. Саме, якщо x = u cos θ та y = u sin θ при фіксованому θ, то

 \left|\frac{u}{w}\right|^t + \left|z\right|^t \leq 1,

де

w = (\left|\cos \theta\right|^r + \left|\sin\theta\right|^r)^{-1/r}.

У частковому випадку, якщо r = 2, горизонтальні перерізи є колами, а w = 1 для усіх січних площин. У цьому випадку супереліпсоїд є тілом обертання, що отримується обертанням кривої Ламе з показником степеня t навколо вертикальної осі.

Базовий супереліпсоїд розміщається у просторі всередині куба, де значення кожної з трьох координат лежать в межах від −1 до +1. Супереліпсоїд загального вигляду отримується масштабуванням базового супереліпсоїда по координатних осях з коефіцієнтамиA, B, C, котрі є півосями отриманого супереліпсоїда. Рівняння супереліпсоїда загального вигляду

 \left( \left|\frac{x}{A}\right|^r + \left|\frac{y}{B}\right|^r \right)^{t/r} + \left|\frac{z}{C}\right|^{t} \leq 1.

Поклавши r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4, отримаємо суперяйце Піта Хейна.

Супереліпсоїд загального вигляду у параметричному вигляді через параметри u та v (довгота в широта) запишеться як[2]:

\begin{align}
 x(u,v) &{}= A c\left(v,\frac{2}{t}\right) c\left(u,\frac{2}{r}\right); \\
 y(u,v) &{}= B c\left(v,\frac{2}{t}\right) s\left(u,\frac{2}{r}\right); \\
 z(u,v) &{}= C s\left(v,\frac{2}{t}\right); \\
 & -\pi/2 \le v \le \pi/2, \quad -\pi \le u < \pi ,
\end{align}

де

\begin{align}
 c(\omega,m) &{}= \sgn(\cos \omega) |\cos \omega|^m ; \\
 s(\omega,m) &{}= \sgn(\sin \omega) |\sin \omega|^m ;
\end{align}
 \sgn(x) = \begin{cases}
 -1, & x < 0 \\
  0, & x = 0 \\
 +1, & x > 0 .
\end{cases}

Об'єм супереліпсоїда у вираженні через бета-функцію β(m,n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m + n), виразиться формулою

 V = \frac23 A B C \frac{4}{r t} \beta \left( \frac{1}{r},\frac{1}{r} \right) \beta \left(\frac{2}{t},\frac{1}{t} \right).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Barr, A.H. (January 1981), Superquadrics and Angle-Preserving Transformations. IEEE_CGA vol. 1 no. 1, pp. 11–23
  2. а б Barr, A.H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics. Chapter III.8 of Graphics Gems III, edited by D. Kirk, pp. 137–159

Джерела[ред.ред. код]

  • Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F. Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.

Посилання[ред.ред. код]