Суперформула

Декілька прикладів кривих, що описуються суперформулою для різних значень m, n₁, n₂ і n₃ за умови a=b=1

Суперформула — узагальнений випадок рівняння плоскої кривої супереліпса (кривої Ламе), записаний у 1997 році бельгійським вченим Йоханом Джилісом (англ. Johan Gielis).

Й.Джиліс припустив, що формула може бути використана для опису багатьох складних форм і кривих, які зустрічаються в природі.

Запис рівняння

У полярних координатах, для $r$ радіуса і кута $\varphi$, суперформула має вигляд:

$r\left(\varphi\right) = \left[ \left| \frac{\cos\left(\frac{m\varphi}{4}\right)}{a} \right| ^{n_{2}} + \left| \frac{\sin\left(\frac{m\varphi}{4}\right)}{b} \right| ^{n_{3}} \right] ^{-\frac{1}{n_{1}}} ,$

де $m$ — характеризує число фрагметів, що повторюються;

$n_1$, $n_2$, $n_3$ — параметри, що визначають форму;

$a$, $b$ — габарити (величини півосей).

Графіки

Інші приклади кривих, побудованих за супреформулою для вказаних m, n₁, n₂ і n₃ при a = b = 1

Програмні реалізації побудови кривих

GNU Octave

Програма для генерування кривих на основі суперформули мовою програмування GNU Octave:

  function sf2d(n,a)
    u=[0:.001:2*pi];
    raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4);
    r=abs(raux).^(-1/n(2));
    x=r.*cos(u);
    y=r.*sin(u);
    plot(x,y);
  end

PHP script

PHP-скрипт для генерування таких фігур:

<?php
        header("Content-type: image/png");
        set_time_limit(120);
        $img = imagecreatetruecolor(800, 800);
        $black = imagecolorallocate($img, 0, 0, 0);
        imagefilledrectangle($img, 0, 0, 800, 800, $black);
 
        $center = 400;
        $PI = 2 * pi();
 
        $a = 1;
        $b = 1;
        $m = 12;
        $n1 = 5;
        $n2 = 6;
        $n3 = 48;
 
        for($f = 0; $f <= $PI; $f += 0.0001) {
                $r= pow((pow(abs(cos($m*$f/4)/$a),$n2) + pow(abs(sin($m*$f/4)/$b), $n3)), -(1/$n1));
                $x = $center + $r * cos ($f) * 100;
                $y = $center + $r * sin ($f) * 100;
                $col = imagecolorallocate($img, 255, 255, 255);
                imagesetpixel($img, $x, $y, $col);
        }
 
        print imagepng($img);
        imagedestroy($img);
?>

Узагальнення на більшу кількість вимірів

Рівняння

Є можливим розширення суперформули до 3, 4, чи n вимірів, у сферичній системі координат. Наприклад тривимірне параметричне задання поверхні отримується перемноженням двох суперформул r₁ and r₂. Геометричне місце точок відповідної поверхні може бути задане співвідношеннями:

$x \,=\, r_1(\theta)\cos(\theta)r_2(\phi)\cos(\phi)$

$y \,=\, r_1(\theta)\sin(\theta)r_2(\phi)\cos(\phi)$

$z \,=\, r_2(\phi)\sin(\phi),$

де $\phi$ змінюється у межах від -π/2 до π/2 (широта) і θ в діапазоні між -π та π (довгота).

Графічні побудови

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

• 

  3D суперформула для a=b=1 (m, n₁, n₂ і n₃ вказані на рисунку).

Програма у GNU Octave

A GNU Octave program for generating these figures:

 function sf3d(n, a)
  u=[-pi:.05:pi];
  v=[-pi/2:.05:pi/2];
  nu=length(u);
  nv=length(v);
    for i=1:nu
    for j=1:nv
      raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4);
      r1=abs(raux1).^(-1/n(2));
      raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4);
      r2=abs(raux2).^(-1/n(2));
      x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j));
      y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j));
      z(i,j)=r2*sin(v(j));
    endfor;
  endfor;
  mesh(x,y,z);
 endfunction;

Див. також

• Супереліпс

Посилання

• Some Experiments on Fitting of Gielis Curves by Simulated Annealing and Particle Swarm Methods of Global Optimization (англ.)
• Least Squares Fitting of Chacón-Gielis Curves By the Particle Swarm Method of Optimization (англ.)
• Superformula 2D Plotter & SVG Generator (англ.)
• Interactive example using JSXGraph (англ.)
• 3D Superdupershape Explorer using Processing (англ.)
• Interactive 3D Superformula plotter using Processing (with code) (англ.)
• SuperShaper: An OpenCL accelerated 3D SuperShape generator with shader based visualisation (OpenGL3) (англ.)