Супутня матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Супутня матриця (англ. companion matrix) нормованого многочлену


p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n ~,

це квадратна матриця визначена як

C(p)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1}
\end{bmatrix}.

Коли e_i - стандартний базис маємо

Ce_i = C^{i}e_1 = e_{i+1}

В літературі іноді подають супутню матрицю у транспонованому вигляді.

Характеристики[ред.ред. код]

Характеристичний поліном так як і мінімальний многочлен C(p) дорівнює p.[1]

У певному сенсі, матриця C(p) є «супутньою» до многочлена p.

Якщо An*n матриця з елементами з деякого поля K, тоді наступні твердження тотожні:

  • Aподібна супутній матриці її характеристичного многочлена над K
  • характеристичний многочлен матриці A збігається з мінімальним многочленом матриці A, тотожно мінімальний многочлен має степінь n
  • існує циклічний вектор v у V=K^n для A, що означає, що {v, Av, A2v, ..., An−1v} — базис V.

Не кожні квадратна матриця подібна супутній. Але кожна матриця подібна матриці складеній з блоків супутніх матриць. Більше того, ці супутні матриці можна підібрати так, що їх многочлени ділитимуть один одного; тоді вони унікально визначені A. Це буде Фробеніусова нормальна форма A.

Зведення до діагонального виду[ред.ред. код]

Якщо p(t) має різні корені λ1, ..., λn (власні значення C(p)), тоді C(p) можна діагоналізувати так:

V C(p) V^{-1} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

де Vвизначник Вандермонда відповідних λ — коренів.

Лінійні рекурентні послідовності[ред.ред. код]

Транспонована супутня матриця

C^T(p)=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1}
\end{bmatrix}

характеристичного полінома

p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n \,

породжує лінійну рекурентна послідовність a_0, a_1, \dots, a_k, \dots, в такому сенсі

C^T\begin{bmatrix}a_k\\
a_{k+1}\\
\vdots \\
a_{k+n-1}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a_{k+1}\\
a_{k+2}\\
\vdots \\
a_{k+n}
\end{bmatrix},

де елементи послідовності задовольняють системі лінійних рівнянь

a_{k + n} = -c_0 a_k - c_1 a_{k + 1} - \dots - c_{n - 1} a_{k + n - 1}

для усіх k \geq 0.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. Процитовано 2010-02-10.