Сферична система координат

Точка $P$ має три декартових і три сферичних координати

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат $(r,\;\theta,\;\varphi)$, де $r$ - відстань до початку координат, а $\theta$ і $\varphi$ - зенітний і азимутальний кути відповідно.

Поняття зеніту і азимуту

Поняття зеніт і азимут широко використовуються в астрономії. Взагалі зеніт - це напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (точкою спостереження), що належить так званої фундаментальної площини. В якості фундаментальної площини в астрономії може бути обрана площина, в якій лежить екватор, або площина, в якій лежить горизонт, або площина екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут - кут між довільно вибраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площина - це площина xy. Зеніт - якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проекції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Визначення

Три координати $(r,\;\theta,\;\varphi)$ визначені як:

• $r\geqslant 0$ — відстань від початку координат до заданої точки $P$.
• $0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ$ — кут між віссю $Z$ і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку $P$.
• $0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ$ — кут між віссю $X$ і проекцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою $P$, на площині $XY$.

Кут $\theta$ називається зенітний, або полярний, або нормальний, англ. colatitude, а кут $\varphi$ — азимутальний. Кути $\theta$ і $\varphi$ не мають значення при $r=0$, а $\varphi$ не має значення при $\sin(\theta)=0$ (тобто при $\theta=0$ або $\theta=180^\circ$).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута $\theta$, використовується кут між проекцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює $90^\circ$ — $\theta$. Він називається кутом підйому і може бути позначений тією ж буквою $\theta$. В цьому випадку він буде змінюватись в межах $-90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ$.

Тоді кути $\theta$ і $\varphi$ не мають значення при $r=0$, так само як і в першому випадку, а $\varphi$ не має значення при $\sin(\theta)=0$, так само як і в попередньому випадку, (але вже при $\theta=-90^\circ$ або $\theta=90^\circ$).

Перехід до інших систем координат

• Декартова система координат
  • Від сферичних до декартових:

    $\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}$

  • Від декартових до сферичних:

    $\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right). \end{cases}$

    • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень $\varphi$ поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна на відповідну формулу з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати $\theta$).
  • Модуль якобіана перетворення від декартових до сферичних координат:

    $|J|=r^2\sin\theta.$

• Циліндрична система координат
  • Від сферичних до циліндричних:

    $\begin{cases} \rho=r\sin\theta, \\ \varphi=\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}$

  • Від циліндричних до сферичних:

    $\begin{cases} r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\ \theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\ \varphi=\varphi. \end{cases}$

  • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:

    $|J|=r.$

Диференціальні характеристики

Сферичні координати є ортогональними, тому метричний тензор набуває діагональної форми:

$g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta} \end{pmatrix}$

• $\det(g_{ij})=r^4\sin^2\theta.\$
• Квадрат диференціала довжини дуги:

$ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.$

• Коефіцієнти Ляме:

$H_r=1,\quad H_\theta=r,\quad H_\varphi=r\sin\theta.$

• Символи Крістофеля $\{r,\;\theta,\;\varphi\}$:

$\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta,$

$\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r},$

$\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=-\mathrm{ctg}\,\theta.$

Інші дорівнюють нулю.

Див. також

• Системи небесних координат
• Полярна система координат
• Циліндрична система координат
• Декартова система координат

Посилання

• Weisstein, Eric W. Сферичні координати(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.