Сферична система координат

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Точка P має три декартових і три сферичних координати

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат (r,\;\theta,\;\varphi), де r - відстань до початку координат, а \theta і \varphi - зенітний і азимутальний кути відповідно.

Поняття зеніту і азимуту[ред.ред. код]

Поняття зеніт і азимут широко використовуються в астрономії. Взагалі зеніт - це напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (точкою спостереження), що належить так званої фундаментальної площини. В якості фундаментальної площини в астрономії може бути обрана площина, в якій лежить екватор, або площина, в якій лежить горизонт, або площина екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут - кут між довільно вибраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площина - це площина xy. Зеніт - якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проекції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Визначення[ред.ред. код]

Три координати (r,\;\theta,\;\varphi) визначені як:

  • r\geqslant 0 — відстань від початку координат до заданої точки P.
  • 0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ — кут між віссю Z і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку P.
  • 0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ — кут між віссю X і проекцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою P, на площині XY.

Кут \theta називається зенітний, або полярний, або нормальний, англ. colatitude, а кут \varphi — азимутальний. Кути \theta і \varphi не мають значення при r=0, а \varphi не має значення при \sin(\theta)=0 (тобто при \theta=0 або \theta=180^\circ).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута \theta, використовується кут між проекцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює 90^\circ — \theta. Він називається кутом підйому і може бути позначений тією ж буквою \theta. В цьому випадку він буде змінюватись в межах -90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ.

Тоді кути \theta і \varphi не мають значення при r=0, так само як і в першому випадку, а \varphi не має значення при \sin(\theta)=0, так само як і в попередньому випадку, (але вже при \theta=-90^\circ або \theta=90^\circ).

Перехід до інших систем координат[ред.ред. код]

  • Декартова система координат
    • Від сферичних до декартових:
      \begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\varphi, \\
y=r\sin\theta\sin\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Від декартових до сферичних:
      \begin{cases}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
\theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right).
\end{cases}
      • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень \varphi поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна на відповідну формулу з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати \theta).
    • Модуль якобіана перетворення від декартових до сферичних координат:
      |J|=r^2\sin\theta.
  • Циліндрична система координат
    • Від сферичних до циліндричних:
      \begin{cases}
\rho=r\sin\theta, \\
\varphi=\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Від циліндричних до сферичних:
      \begin{cases}
r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\
\theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\
\varphi=\varphi.
\end{cases}
    • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:
      |J|=r.

Диференціальні характеристики[ред.ред. код]

Сферичні координати є ортогональними, тому метричний тензор набуває діагональної форми:

g_{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix},\quad
g^{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}
\end{pmatrix}
  • \det(g_{ij})=r^4\sin^2\theta.\
  • Квадрат диференціала довжини дуги:
ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.
H_r=1,\quad H_\theta=r,\quad H_\varphi=r\sin\theta.
\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta,
\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r},
\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=-\mathrm{ctg}\,\theta.

Інші дорівнюють нулю.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]