Сферичні гармоніки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних   \theta і  \varphi , які складають повний базис функцій сферичного кута.

Візуальне зображення перших декількох сферичних гармонік. Червоний колір вказує на додатність функції, зелений на від'ємність.

Сферичні гармоніки позначаються  Y_{l,m}(\theta, \varphi) , де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

 Y_{l,m} (\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^{|m|}(\cos \theta) e^{im\varphi},

де   P_l^{|m|}(x) - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

 \int Y^*_{l^\prime,m^\prime}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) d\Omega  = \delta_{l,l^\prime} \delta_{m,m^\prime} ,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а  \delta_{l,l^\prime} - символ Кронекера.