Сферичні гармоніки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних   \theta і  \varphi , які складають повний базис функцій сферичного кута.

Візуальне зображення перших декількох сферичних гармонік. Червоний колір вказує на додатність функції, зелений на від'ємність.

Сферичні гармоніки позначаються  Y_{l,m}(\theta, \varphi) , де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

 Y_{l,m} (\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^{|m|}(\cos \theta) e^{im\varphi},

де   P_l^{|m|}(x) - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

 \int Y^*_{l^\prime,m^\prime}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) d\Omega  = \delta_{l,l^\prime} \delta_{m,m^\prime} ,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а  \delta_{l,l^\prime} - символ Кронекера.

Деякі сферичні гармоніки з малими l[ред.ред. код]

Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}
Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}
Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta
Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}
Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}
Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}
Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)
Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}
Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}

Посилання[ред.ред. код]