Сферичні гармоніки

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних $\theta$ і $\varphi$, які складають повний базис функцій сферичного кута.

Сферичні гармоніки позначаються $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$, де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

$Y_{l,m} (\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^{|m|}(\cos \theta) e^{im\varphi}$,

де $P_l^{|m|}(x)$ - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

$\int Y^*_{l^\prime,m^\prime}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) d\Omega = \delta_{l,l^\prime} \delta_{m,m^\prime}$,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а $\delta_{l,l^\prime}$ - символ Кронекера.