Схема Горнера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Схе́ма Го́рнера (або правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм обчислення значення многочлену, записаного у вигляді суми одночленів, при заданому значенні змінної. Метод Горнера дозволяє знайти корені многочлену, а також обчислити похідні поліному в заданій точці. Схема Горнера також є простим алгоритмом для ділення многочлена на біном у вигляді x - c. Метод названий на честь Вільяма Джорджа Горнера.

Опис алгоритму[ред.ред. код]

Дано многочлен P(x):

P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n, \quad a_i \in \mathbb{R}.

Нехай потрібно обчислити значення даного многочлена при фіксованому значенні x = x_0. Представимо многочлен P(x) в наступному вигляді:

P(x) = a_0 + x(a_1 + x(a_2 + \cdots x(a_{n-1} + a_n x) \dots)).

Визначимо наступну послідовність:

b_n = a_n\,\!
b_{n-1} = a_{n-1} + b_n x\,\!
b_i = a_i + b_{i+1} x\,\!
b_0 = a_0 + b_1 x\,\!

Шукане значення P(x_0) = b_0. Покажемо, що це вірно.

В отриману форму запису P(x) підставимо x = x_0 і будемо обчислювати значення виразу, починаючи з внутрішніх дужок. Для цього будемо замінювати підвирази на b_i:


\begin{align}
P(x_0) & = a_0 + x_0(a_1 + x_0(a_2 + \cdots x_0(a_{n-1} + a_n x_0)\dots)) \\
& = a_0 + x_0(a_1 + x_0(a_2 + \cdots x_0(b_{n-1})\dots)) \\
& {} \ \  \vdots \\
& = a_0 + x_0(b_1) \\
& = b_0
\end{align}

Використання схеми Горнера для ділення многочлена на біном[ред.ред. код]

При діленні многочлена a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n на x - c отримуємо многочлен b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \cdots + b_{n-2} x + b_{n-1} з остачею b_n.

При цьому коефіцієнти отриманого многочлена задовільняють рекурентним співвідношенням:

b_0 = a_0, b_k = a_k + c b_{k-1}.

Таким же чином можна визначити кратність кореня (використати схему Горнера для нового полінома). Так само схему можна використовувати для знаходження коефіцієнтів при розкладу поліному по степенях x — c: P(x) = A_0 + A_1 (x-c) + A_2 (x-c)^2 + \cdots + A_{n} (x-c)^{n}

Приклади реалізації обчислення значення[ред.ред. код]

C++[ред.ред. код]

/*
 * 6
 * 3
 * 1 3 -2 1 -1 1
 *
 * Відповідь: 439
 */
 
# include <stdlib.h> /** EXIT_FAILURE **/
# include <iostream>
using namespace std;
 
int main(int argc, char *argv[])
{
	register unsigned int i;
	unsigned int n;
	cout << "Введіть кількість елементів: ";
	cin >> n;
 
	if (n < 1 )
	{
		cerr << "Потрібно хоча б два елементи." << endl;
		return EXIT_FAILURE;
	}
 
	double *a = new double [n];
	double *b = new double [n];
 
	cout << "Введіть епсилон: ";
	double eps; cin >> eps;
 
	cout << "Введіть" << n << " вихідний елемент:" << endl;
	for ( i = 0; i < n; i++ ) cin >> a[i];
 
	cout << endl;
 
	/* Малюємо верхню рамку */
	for ( i = 0; i < n; i++ ) cout << "+-------"; cout << "+" << endl;
 
	/* Виводимо вихідні елементи */
	for ( i = 0; i < n; i++ ) cout << "| " << a[i] << "\t"; cout << "|" << endl;
 
	/* Знову рамка */
	for ( i = 0; i < n; i++ ) cout << "+-------"; cout << "+" << endl;
 
	/* За умовою, перший елемент b дорівнює першому елементу a */
	b[0] = a[0];
	cout << "| " << *b << "\t";
	for( i = 1; i < n; i++ )
	{
		b[i] = b[i - 1] * eps;
		/* В цьму місці b[i] буде дорівнювати значенню, що записується в другий рядок */
		b[i] += a[i];
		cout << "| " << b[i] << "\t";
	}
	cout << "+" << endl;
 
	/* І ще одна завершальна рамка */
	for ( i = 0; i < n; i++ ) cout << "+-------"; cout << "+" << endl << endl;
	cout << "Відповідь: " << b[n-1] << endl;
 
	delete []b;
	delete []a;
	return 0;
}

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]