Сюр'єкція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Сюр'єкція (сюр'єктивне відображення, сюр'єктивна функція, відображення на) — в математиці відповідність між двома множинами, в якій з кожним елементом другої множини асоціюється щонайменш один (або більше) елементів першої множини.

Формально, відображення fX → Y є сюр'єктивним' якщо для кожного y з Y, існує щонайменш один x з X такий, що f(x) = y.

Bijection.svg

Бієктивне відображення (сюр'єктивне та ін'єктивне)

Injection.svg

Ін'єктивне, але не сюр'єктивне відображення

Surjection.svg

Сюр'єктивне, але не ін'єктивне відображення

Total function.svg

Несюр'єктивне і неін'єктивне відображення

Приклади[ред.ред. код]

З одного боку, функція gR → R, визначена як g(x) = x2 не є сюр'єктивною, тому що (наприклад) не існує такого дійсного числа x, що x2 = −1.

Але якщо ми визначимо функцію hR → [0, ∞) за тою ж формулою як g, але з областю значень, обмеженою лише невід'ємними дійсними числами, то функція h буде сюр'єктивною.

Властивості[ред.ред. код]

  • Функція fX → Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо існує функція gY → X така, що композиція функцій f o g є тотожним відображенням на Y.
  • За визначенням, функція бієктивна тоді й тільки тоді, коли вона одночасно сюр'єктивна та ін'єктивна.
  • Якщо f o g сюр'єктивна, то f також сюр'єктивна.
  • Якщо f та g обидві сюр'єктивні, то f o g сюр'єктивна.
  • fX → Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо для будь-яких g,h:Y → Z, якщо g o f = h o f, то g = h.
  • Якщо fX → Y сюр'єктивна і B є підмножиною Y, то f(f −1(B)) = B. Таким чином, B може бути відновлена за прообразом f −1(B).
  • Будь-яка функція hX → Z може бути визначена як композиція деяких функцій h = g o f для деякої сюр'єкції f та ін'єкції g.
  • Якщо fX → Y сюр'єктивна, то X має щонайменш стільки ж елементів, як і Y, в сенсі потужності множин.
  • Якщо обидві множини X та Y є скінченні з однаковою кількістю елементів, то f : X → Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо f ін'єктивна.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]