Сідлова точка

Сідлова точка функції $z = x^2 - y^2$

Сідлова́ то́чка — один із типів стаціонарних точок функції багатьох змінних, в якому перші похідні функції дорівнюють нулю, але матриця других похідних не є додатно визначеною, а також один із типів стаціонарних точок дисипативних систем.

Екстремум функції багатьох змінних

Для функції багатьох змінних $f(x_1, x_2, \ldots, x_n )$ екстремуми визначаються із системи рівнянь

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = 0$, де $i = 1, 2, \ldots, n$.

В малому околі поблизу екстремуму $x_i^0$, функцію можна подати у вигляді білінійної форми

$f(x_i) = f(x_i^0) + \frac{1}{2} \sum_{i,j =1}^n \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right]_{x_i =x_i^0}(x_i - x_i^0)(x_j - x_j^0)$.

Якщо матриця коефіцієнтів розкладу додатно визначена, то функція має в точці $x_i = x_i^0$ мінімум. Якщо матриця коефіцієнтів, взятих із оберненими знаками, додатно визначена, то функція має в цій точці максимум. Якщо ж обидві матриці не є додатно визначеними, то існує певний напрям в багатовимірному просторі, в якому функція зменшується, й існує певний напрям, в якому вона збільшується. Такий екстремум називається сідловою точкою. Приклад наведений на рисунку праворуч.

Простим критерієм перевірки того чи є стаціонарна точка функції двох дійсних змінних F(x,y) сідловою є необхідність того що матриця Гессе у цій точці є неозначеною. Наприклад, матриця Гессе для функції $z=x^2-y^2$ у стаціонарній точці $(0, 0)$

$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix}$

є неозначеною. Звідси, точка $(0, 0)$ є сідловою для даної системи. Цей критерій дає лише достатню умову. Наприклад, точка $(0, 0)$ є сідловою для функції $z=x^4-y^4,$, однак матриця Гессе для цієї функції у даній точці є нульовою матрицєю, яка не є неозначеною.

Стаціонарна точка

Для дисипативної системи, яка описується кінетичними рівняннями

$\frac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, x_2, \ldots, x_n )$,

стаціонарна точка (точка рівноваги) визначається з системи рівнянь

$f_i(x_1, x_2, \ldots, x_n ) = 0$,

а її стабільність визначається тим, чи матриця $\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right]_{x_i = x_i^0}$ додатньо визначена. Задача аналогічна аналізу екстремуму функції багатьох змінних. Сідлові точки в синергетиці, яка вивчає дисипативні системи, відповідають нестійким стаціонарним станам: вузлам і фокусам.

Аналіз стаціонарних точок дисипативних систем стає зовсім аналогічним аналізу точки екстремуму, якщо існує така функція $U(x_1, x_2, \ldots ,x_n)$ (потенціал), що

$f_i = - \frac{\partial U}{\partial x_i}$.

У загальному випадку це не так.

Дивіться також

• Сідло
• Білінійна форма

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.