Таблиці істинності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

Під «логічною функцією» (також логічною операцією) в даному випадку розуміється функція, у котрої значення змінних (параметрів функції) і значення самої функції виражають логічну істинність.

Наприклад, в двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» (~true або ~false, ~1 або ~0).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для основних логічних операцій[ред.ред. код]

\mathbf{A} Заперечення
\mathbf{\lnot A}
Тавтологія
\top
Протиріччя
\bot
0 1 1 0
1 0 1 0
\mathbf{A} \mathbf{B} Кон'юнкція,
AND
A \land B
Диз'юнкція,
OR
A \lor B
Виключна диз'юнкція,
XOR
A \oplus B
Еквівалентність,
XNOR
\ A \leftrightarrow B
Імплікація
\ A \rightarrow B
Обернена імплікація
\ A \leftarrow B
Штрих Шефера,
NAND
\ A | B
Стрілка Пірса,
NOR
\ A \downarrow B
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 0 0
альтернативне позначення AB A+B A \underline{\lor} B A \overline{\underline{\lor}} B A \overline{\land} B A \overline{\lor} B

Використання[ред.ред. код]

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

Логічна еквівалентність : (p \rightarrow q) = (\lnot p \lor q)
p\; q\; \lnot p\; \lnot p \lor q\; p \rightarrow q\;
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1

З даної таблиці одержуємо, що вираз ~ p \to q є еквівалентним ~ \neg p \ \lor \ q.

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести, що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:


\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}
      p & q & r & (p \or q) & \neg (p \or q) & (p \to r) & \neg (p \or q) \to (p \to r)\\
      \hline
      1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
      1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
      1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
      1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
      0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
      0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
      0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
      0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
      \hline
\end{array}

Див. також[ред.ред. код]