Таблиці істинності

Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

Під «логічною функцією» (також логічною операцією) в даному випадку розуміється функція, у котрої значення змінних (параметрів функції) і значення самої функції виражають логічну істинність.

Наприклад, в двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» ($~true$ або $~false$, $~1$ або $~0$).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для основних логічних операцій

$\mathbf{A}$	Заперечення $\mathbf{\lnot A}$	Тавтологія $\top$	Протиріччя $\bot$
0	1	1	0
1	0	1	0

$\mathbf{A}$	$\mathbf{B}$	Кон'юнкція, AND $A \land B$	Диз'юнкція, OR $A \lor B$	Виключна диз'юнкція, XOR $A \oplus B$	Еквівалентність, XNOR $\ A \leftrightarrow B$	Імплікація $\ A \rightarrow B$	Обернена імплікація $\ A \leftarrow B$	Штрих Шефера, NAND $\ A | B$	Стрілка Пірса, NOR $\ A \downarrow B$
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	1	0	0
альтернативне позначення		$AB$	$A+B$	$A \underline{\lor} B$	$A \overline{\underline{\lor}} B$			$A \overline{\land} B$	$A \overline{\lor} B$

Використання

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

Логічна еквівалентність : $(p \rightarrow q) = (\lnot p \lor q)$

$p\;$	$q\;$	$\lnot p\;$	$\lnot p \lor q\;$	$p \rightarrow q\;$
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

З даної таблиці одержуємо, що вираз $~ p \to q$ є еквівалентним $~ \neg p \ \lor \ q$.

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести. що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:

$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|} p & q & r & (p \or q) & \neg (p \or q) & (p \to r) & \neg (p \or q) \to (p \to r)\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \hline \end{array}$

Див. також

• Математична логіка
• Алгебра логіки
• Числення висловлень