Тензор

Те́нзор (від лат. tendere, «тягнутись, простиратися») — математичний об'єкт, що узагальнює такі поняття як скаляр, вектор, ковектор, лінійний оператор і білінійна форма. Вивченням тензорів займається тензорне числення.

В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці $d\times d\times \cdots \times d$ (число співмножників збігається з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.

Означення

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів(1-форм) на V)

$\begin{matrix}\tau \in T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix}$

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантрим та n разів коваріантним.

Означення тензорного об'єкта

Основною властивістю, і фактично означенням, тензора $T_{ij\cdots}^{kl\cdots}$ є закон перетворення його компонент при зміні системи координат:

$(1) \qquad \hat T_{ij\cdots}^{kl\cdots} = \alpha_{k_1}^k \alpha_{l_1}^l \cdots \beta_i^{i_1} \beta_j^{j_1} \cdots T_{i_1 j_1\cdots}^{k_1 l_1\cdots}$

де (взаємно обернені) матриці переходу $\alpha^i_j, \; \beta^i_j$ є частинними похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:

$(2) \qquad \alpha^i_j = {\partial \hat x^i \over \partial x^j}, \qquad \beta^i_j = {\partial x^i \over \partial \hat x^j}$

Приклади

• Тензор рангу (0,0) є скаляр;
• Тензор рангу (1,0) є вектор;
• Тензор рангу (0,1) є ковектор (коваріантний вектор), тобто елемент простору V*;
• Тензор рангу (0,2) є білінійна форма;
• Тензор рангу (1,1) є лінійний оператор.

Тензорні операції

Тензори допускають такі унарні операції:

• Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
• Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і такі бінарні операції:

• Додавання тензорів однакової валентності і складу індексів — виконується покомпонентно;
• Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо $\sigma\in T^m_n$ і $\tau \in T^{m'}_{n'}$ то їх добуток

$\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}$

Тензор як мультилінійна функція

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію $\ \alpha(v_1,v_2,\dots,v_n)$ з $v_i \in V$, яка лінійна по кожному аргументу $\ v_i$ (такі функції називаються полілінійними), тобто

$\ \alpha(v_1,\dots,cv_i,\dots,v_n)=c\cdot \alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n),$

$\ \alpha(v_1,\dots,v_i+v_i',\dots,v_n)=\alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)+\alpha(v_1,\dots,v_i',\dots,v_n).$

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

$\ \alpha(w^1,w^2,\dots,w^n,v_1,v_2,\dots,v_m),$

де $w^i \in V^*,\;\; v_i \in V.$

Компоненти тензора

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення $e_i \in V,\ i=1...,dim(V)$ є числа

${\tau_{j_1,j_2,\dots,j_n}}^{i_1,i_2,\dots,i_m} = \tau(e^{j_1},e^{j_2},\dots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_m})$

$1\le i_a,\ j_b \le d$

де $e^j \in V^*,\ j=1...,d$ є базис в просторі $V^*\!$, дуальний базису $e_i\!$ (тобто $e^j e_i = \delta^j_i$, де $\delta^j_i$ є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів $V^*\!$, зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів $V\!$ відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

Симетрії

В різного роду додатках часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним по двох ко-(контра-)варіантних індексах називається тензор, який задовольняє такій вимозі:

$T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})$

$(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m})= T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))$

або в компонентах

${T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m}= {T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m},$

$\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*))$

$({T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = {T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},$

$\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*)))$.

Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність):

$T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})$

$(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m})= -T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))$

або в компонентах

${T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m}= -{T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m},$

$\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*))$

$({T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = -{T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},$

$\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*)))$.

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати і індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може відноситися тільки до індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більш ніж двох індексів. При цьому при будь-якій перестановці індексів, по яких тензор є симетричним, його дія не змінюється а при антисиметрії по індексах знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

Див. також

• Операції над тензорами