Тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Те́нзор (від лат. tendere, «тягнутись, простиратися») — математичний об'єкт, що узагальнює такі поняття як скаляр, вектор, ковектор, лінійний оператор і білінійна форма. Вивченням тензорів займається тензорне числення.

В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці d\times d\times \cdots \times d (число співмножників збігається з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.

Означення[ред.ред. код]

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів(1-форм) на V)

\begin{matrix}\tau \in T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes  & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix}

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантним та n разів коваріантним.

Означення тензорного об'єкта[ред.ред. код]

Основною властивістю, і фактично означенням, тензора T_{ij\cdots}^{kl\cdots} є закон перетворення його компонент при зміні системи координат:

(1) \qquad \hat T_{ij\cdots}^{kl\cdots} = \alpha_{k_1}^k \alpha_{l_1}^l \cdots \beta_i^{i_1} \beta_j^{j_1} \cdots  T_{i_1 j_1\cdots}^{k_1 l_1\cdots}

де (взаємно обернені) матриці переходу \alpha^i_j, \; \beta^i_j є частинними похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:

(2) \qquad \alpha^i_j = {\partial \hat x^i \over \partial x^j}, \qquad 
\beta^i_j = {\partial x^i \over \partial \hat x^j}

Приклади[ред.ред. код]

Тензорні операції[ред.ред. код]

Тензори допускають такі унарні операції:

  • Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
  • Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і такі бінарні операції:

  • Додавання тензорів однакової валентності і складу індексів — виконується покомпонентно;
  • Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо \sigma\in T^m_n і \tau \in T^{m'}_{n'} то їх добуток
\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}

Тензор як мультилінійна функція[ред.ред. код]

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію \ \alpha(v_1,v_2,\dots,v_n) з v_i \in V, яка лінійна по кожному аргументу \ v_i (такі функції називаються полілінійними), тобто

\ \alpha(v_1,\dots,cv_i,\dots,v_n)=c\cdot \alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n),
\ \alpha(v_1,\dots,v_i+v_i',\dots,v_n)=\alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)+\alpha(v_1,\dots,v_i',\dots,v_n).

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

\ \alpha(w^1,w^2,\dots,w^n,v_1,v_2,\dots,v_m),

де w^i \in V^*,\;\; v_i \in V.

Компоненти тензора[ред.ред. код]

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення e_i \in V,\ i=1...,dim(V) є числа

{\tau_{j_1,j_2,\dots,j_n}}^{i_1,i_2,\dots,i_m} = \tau(e^{j_1},e^{j_2},\dots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_m})
1\le i_a,\ j_b \le d

де e^j \in V^*,\ j=1...,d є базис в просторі V^*\!, дуальний базису e_i\! (тобто e^j e_i = \delta^j_i, де \delta^j_i є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів V^*\!, зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів V\! відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

Симетрії[ред.ред. код]

В різного роду додатках часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним по двох ко-(контра-)варіантних індексах називається тензор, який задовольняє такій вимозі:

T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})


(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m})= T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))


або в компонентах

{T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m}= {T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m},
\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*))

({T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = {T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},
\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*))).

Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність):

T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})


(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m})= -T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))

або в компонентах

{T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m}= -{T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m},
\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2...,(\dim(V)=\dim(V^*))

({T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = -{T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},
\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2...,(\dim(V)=\dim(V^*))).

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати і індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може відноситися тільки до індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більш ніж двох індексів. При цьому при будь-якій перестановці індексів, по яких тензор є симетричним, його дія не змінюється а при антисиметрії по індексах знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

Література[ред.ред. код]

М. А. Разумова, В. М. Хотяїнцев «Основи векторного і тензорного аналізу: навчальний посібник». – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2011.--216с.

Див. також[ред.ред. код]