Тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Те́нзор — математичний об'єкт, що узагальнює такі поняття лінійної алгебри як: скаляр, вектор і білінійна форма. Вивченням тензорів займається тензорне числення.

В деякому базисі відношення тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці $d\times d\times \cdots \times d$ (число співмножників співпадає з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При зміні базису віднесення (зокрема, системи координат) компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору системи координат або базису.

[ред.] Означення

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів(1-форм) на V)

$\begin{matrix}\tau \in T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix}$

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m раз контраваріантрим та n раз коваріантним.

[ред.] Приклади

Тензор рангу (0,0) є скаляр;
Тензор рангу (1,0) є вектор;
Тензор рангу (0,1) є ковектор (контраваріантний вектор), тобто елемент простору V*;
Тензор рангу (0,2) є білінійна форма;
Тензор рангу (1,1) є лінійний оператор.

[ред.] Тензорні операції

Тензори допускають наступні унарні операції:

Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і наступні бінарні операції:

Додавання тензорів однакової валентності і складу індексів — виконується покомпонентно;
Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо $\sigma\in T^m_n$ і $\tau \in T^{m'}_{n'}$ то їх добуток

$\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}$

[ред.] Тензор як мультилінійна функція

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію $\ \alpha(v_1,v_2,\dots,v_n)$ з $v_i \in V$ , яка лінійна по кожному аргументу $\ v_i$ (такі функції називаються полілінійними), тобто

$\ \alpha(v_1,\dots,cv_i,\dots,v_n)=c\cdot \alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n),$

$\ \alpha(v_1,\dots,v_i+v_i',\dots,v_n)=\alpha(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)+\alpha(v_1,\dots,v_i',\dots,v_n).$

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

$\ \alpha(w^1,w^2,\dots,w^n,v_1,v_2,\dots,v_m),$

де $w^i \in V^*,\;\; v_i \in V.$

[ред.] Компоненти тензора

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення $e_i \in V,\ i=1...,dim(V)$ є числа

${\tau_{j_1,j_2,\dots,j_n}}^{i_1,i_2,\dots,i_m} = \tau(e^{j_1},e^{j_2},\dots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_m})$

$1\le i_a,\ j_b \le d$

де $e^j \in V^*,\ j=1...,d$ є базис в просторі $V^*\!$ , дуальний базису $e_i\!$ (тобто $e^j e_i = \delta^j_i$ , де $\delta^j_i$ є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів $V^*\!$ , зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів $V\!$ відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

[ред.] Симетрії

В різного роду додатках часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним по двох ко-(контра-)варіантних індексах називається тензор, який задовольняє наступній вимозі:

$T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})$

$(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m})= T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))$

або в компонентах

${T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m}= {T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m},$

$\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*))$

$({T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = {T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},$

$\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*)))$ .

Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність):

$T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},...e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_m})$

$(T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},...,e_{i_m})= -T(e^{j_1},e^{j_2},...e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},...,e_{i_m}))$

або в компонентах

${T_{\underline{j_1,j_2},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m}= -{T_{\underline{j_2,j_1},...,j_n}}^{i_1,i_2...,i_m},$

$\quad \forall j_1,\ j_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*))$

$({T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},...,i_m} = -{T_{j_1,j_2...,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},...,i_m},$

$\quad \forall i_1,\ i_2 = 1,2...,(dim(V)=dim(V^*)))$ .

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати і індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може відноситися тільки до індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більш ніж двох індексів. При цьому при будь-якій перестановці індексів, по яких тензор є симетричним, його дія не змінюється а при антисиметрії по індексах знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

[ред.] Див. також

Тензорне поле

Тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Означення

[ред.] Приклади

[ред.] Тензорні операції

[ред.] Тензор як мультилінійна функція

[ред.] Компоненти тензора

[ред.] Симетрії

[ред.] Див. також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами