Тензорне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

Визначення[ред.ред. код]

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на різноманітті[ред.ред. код]

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай V=\R^n, V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R) і V^p_q=((\overset{p}{\otimes}V))\otimes((\overset{q}{\otimes} V^*)) — простір тензорів типу (p,\;q) з природним тензорним представленням групи GL^1(n)=GL(n), тоді структура типу V^p_q є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу (p,\;q).

Визначення через поняття тензорного розшарування[ред.ред. код]

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування T^{p,\;q}(M) на диференційовному многовиді M, ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

T^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\otimes}T(M)\otimes\overset{q}{\otimes}T(M)^*.

Нестрогі визначення[ред.ред. код]

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду M ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосування[ред.ред. код]

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне поле[ред.ред. код]

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означення[ред.ред. код]

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці \displaystyle x многовиду \displaystyle M деякий тензор фіксованої валентності \displaystyle (p,q), віднесений до цієї точки \displaystyle x. Нехай тепер \displaystyle\tilde M — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над \displaystyle M, і нехай \displaystyle\pi:\tilde M\to M — канонічна проекція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці \displaystyle y у многовиді \displaystyle\tilde M деякий тензор фіксованого валентності \displaystyle (p,q) на \displaystyle\tilde M віднесений до точки \displaystyle x=\pi(y).

Література[ред.ред. код]