Тензорне поле

Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

Визначення

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на різноманітті

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай $V=\R^n$, $V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R)$ і $V^p_q=((\overset{p}{\otimes}V))\otimes((\overset{q}{\otimes} V^*))$ — простір тензорів типу $(p,\;q)$ з природним тензорним представленням групи $GL^1(n)=GL(n)$, тоді структура типу $V^p_q$ є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу $(p,\;q)$.

Визначення через поняття тензорного розшарування

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування $T^{p,\;q}(M)$ на диференційовному многовиді $M$, ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

$T^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\otimes}T(M)\otimes\overset{q}{\otimes}T(M)^*.$

Нестрогі визначення

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду $M$ ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосування

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне поле

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означення

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці $\displaystyle x$ многовиду $\displaystyle M$ деякий тензор фіксованої валентності $\displaystyle (p,q)$, віднесений до цієї точки $\displaystyle x$. Нехай тепер $\displaystyle\tilde M$ — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над $\displaystyle M$, і нехай $\displaystyle\pi:\tilde M\to M$ — канонічна проекція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці $\displaystyle y$ у многовиді $\displaystyle\tilde M$ деякий тензор фіксованого валентності $\displaystyle (p,q)$ на $\displaystyle\tilde M$ віднесений до точки $\displaystyle x=\pi(y)$.

Література

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — Москва: Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333.
• Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — 664 с.