Тензорний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів D(M), що диференціюється M. Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.

Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри D(M).

1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля Xлінійне відображення \nabla_X простору векторних полів D^1(M) від M, залежне від векторного поля X і яке задовольняє умовам:

\nabla_fX+{}_{gV}Z=f\nabla_XZ,
\nabla_X(fZ)=f\nabla_XZ+(Xf)Y,

де X, Y, Z\in D'(M), f, g — гладкі функції на M. Зв'язність \Gamma і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри D(M) в себе; при цьому відображення \nabla X є диференціювання, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.

В локальних координатах u^1, u^2 \ldots, u^n коваріантна похідна тензора з компонентами T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}) щодо вектора X=\xi^i\frac{\partial}{\partial u^i} визначається так:

\nabla_XT=\xi^s(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots 
i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}),

\Gamma^i_{ks} — об'єкт зв'язності \Gamma.

2) Похідна Лі уздовж векторного поля X — відображення L_X простору D'(M), що визначене формулою L_X~:~Y\rightarrow [X,~Y], де [X,~Y] — комутатор векторних полів X Y. Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання D(M), зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}) виражається так:

\nabla_XT=\xi^s(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}),

3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор d, що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня p форму такого ж вигляду і степеня p+1, котра задовольняє умовам:

d(\omega_1\wedge\omega_2)=d\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge d\omega_2,~~~~d(d\omega)=0,


де \wedge — символ зовнішнього добутку r — ступінь \omega_1. В локальних координатах зовнішня похідна тензора \omega\langle\omega_{i_1\ldots i_p}\rangle виражається так:

d\omega=\sum_{n=0}^\infty (-1)^k\frac{\partial\omega_{i_1\ldots \hat i_k\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.

Оператор d — узагальнення оператора \operatorname{rot}.

4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора g_{if} є дією деякого нелінійного оператора R:

g_{if}\rightarrow R^s_{mlk}=\frac{\partial\Gamma^s_{km}}{\partial u^l}-\frac{\partial\Gamma^s_{kl}}{\partial 
u^m}+\sum_p(\Gamma^s_{lp}\Gamma^p_{km}-\Gamma^s_{mp}\Gamma^p_{kl}),

де

\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{is}(\frac{\partial g_{js}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ks}}{\partial u^s}-\frac{\partial 
g_{jk}}{\partial u^s}).

Література[ред.ред. код]

  • Акивис М.А. Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. — Москва: Наука, 1969 — С. 352.
  • Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — Москва: Высшая школа, 1966 — С. 254.
  • Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — Москва: ФМЛ, 1978 — С. 297.
  • Автор Книжка. — Видавництво. — С. 123.
  • Кочин Р.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — Москва: Наука, 1965 — С. 427.
  • Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. — Москва: ФМЛ, 1963 — С. 411.
  • Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Москва: Изд. МГУ, 1986 — С. 264.
  • Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6.
  • Lebedev, Leonid P.; Michael J. Cloud (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
  • Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0070334847.
  • Synge JL, Schild A (1978-07-01). Tensor Calculus. Dover Publications. ISBN 978-0486636122.