Тензорний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів  A і  B є лінійний простір, що позначається A \otimes B, для елементів a\in A і b\in B, їх тензорний добуток a \otimes b лежить у просторі A \otimes B.

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів[ред.ред. код]

Скінченновимірні простори[ред.ред. код]

Нехай A і B — скінченновимірні векторні простори над полем K, \{ e_i \}_{i=1\dots n} — базис в A, \{ f_k \}_{k=1\dots m} — базис в B. Тензорним добутком A \otimes B просторів A і B будемо називати векторний простір, породжений елементами e_i \otimes f_k, що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток a \otimes b довільних векторів a \in A,~b\in B можна визначати, вважаючи операцію \otimes білінійною:

(\lambda a_1 + \mu a_2) \otimes b = \lambda\, a_1 \otimes b + \mu\, a_2 \otimes b,~~\lambda,\mu \in K
a \otimes (\lambda b_1 + \mu b_2) = \lambda\, a \otimes b_1 + \mu\, a \otimes b_2,~~\lambda,\mu \in K

При цьому тензорний добуток довільних векторів a і b виражається як лінійна комбінація базисних векторів e_i \otimes f_k. Елементи у A \otimes B, що представляються у вигляді a \otimes b, називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність[ред.ред. код]

Тензорний добуток  — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь якого іншого простору C і білінійного відображення \otimes^\prime: A \times B \to C існує єдиний гомоморфізм f: A \otimes B \to C такий, що

\otimes^\prime = f \circ \otimes

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в A і B, оскільки всі простори, які при цьому отримуються A \otimes B виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення L^2 \ni \varphi: A \times B \to C може бути визначене як лінійне відображення L \ni \varphi: A \otimes B \to C, при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори \ L^2(A \times B, C) і L(A\otimes B, C) є канонічно ізоморфними.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Тензорний добуток двох векторів[ред.ред. код]

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:


\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}
\rightarrow
\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3\end{bmatrix}

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах мається на увазі сумування):


\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}
\rightarrow
a_ib^j

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку векторів — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

 P_i^{\ j} = a_ib^j
 P_{ij}\ = a_ib_j
 P^{ij}\ = a^ib^j

Добуток двох векторів називається також діадним, а результат (тензор другого рангу) — діадою.

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на просторів векторів рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів[ред.ред. код]

Нехай A: U_1 \to U_2, B: W_1 \to W_2 — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів A\otimes B: U_1\otimes W_1 \to U_2\otimes W_2 визначається за правилом

(A\otimes B)(u\otimes w) = (A u)\otimes (B w),~~ u\in U_1,\,w\in W_1

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

\mathrm{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
\mathrm{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

 \mathrm{A} \otimes \mathrm{B} = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} =
 = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix}

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості[ред.ред. код]

  • \dim A\otimes B = \dim A \cdot \dim B

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

  • Асоціативність
(A \otimes B)\otimes C \simeq A \otimes(B \otimes C)
  • Комутативність
A \otimes B \simeq B \otimes A
  • Лінійність
A \otimes (B \oplus C) \simeq (A\otimes B) \oplus (A \otimes C)
\oplus — зовнішня сума лінійних просторів.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Нехай A_1,A_2,\dots,A_n — модулі над деяким комутативним кільцем R. Тензорним добутком цих модулів називається модуль B над R, даний разом з полілінійним відображенням f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B і володіє властивість універсальності, тобто такий, що для будь якого модуля C над R і будь якого полілінійного відображення g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C існує єдиний гомоморфізм модулів h\colon B \to C такий, що діаграма

Tensor product1.gif

комутативна. Тензорний добуток позначається A_1 \otimes\ldots\otimes A_n. Із універсальності тензорного добутку виходить, що воно визначено з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль M, твірними якого будуть n-ки елементів модулів (x_1,\dots,x_n) где x_i \in A_i. Нехай N — підмодуль M, що породжується такими елементами:

  1. (x_1,\dots,x_i + y_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,x_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,y_i,\dots,x_n)
  2. (x_1,\dots,\lambda x_i,\dots,x_n) - \lambda(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль B=M/N, клас (x_1,\dots,x_n) + N позначається x_1 \otimes \dots \otimes x_n, і називається тензорним добутком елементів x_i, a f визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B полілінійне. Доведемо, що для будь якого модулю C і будь якого полілінійного відображення g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C існує єдиний гомоморфізм модулів h, такой, что g = h \circ f.

Насправді, оскільки M вільний, то існує єдине відображення h^*, що робить діаграму

комутативною, а в силу того, що g полілінійне, то на N h^*(N) = 0, звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що h\colon M/N \to C, буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існвання якого і потрібно було довести.

Елементи A_1 \otimes \dots \otimes A_n, що представляються у вигляді x_1 \otimes \dots \otimes x_n, називаються розкладними.

Якщо f_i\colon A_i \to B_i — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

f_1\otimes\dots\otimes f_n\colon A_1\otimes\dots\otimes A_n \to B_1\otimes\dots\otimes B_n

що відповідє по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів f_i.

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай e_{i 1},\dots,e_{i n} — базис модуля A_i. Побудуємо вільний модуль F над нашим кільцем, що має в якості базису елементи, що відповідають n-кам (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}), визначивши відображення f(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) \to (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) і поширючи його на A_1 \times \dots \times A_n по лінійності. Тоді F є тензорним добутком, де (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) є тензорним добутком елементів e_{1m} \otimes e_{2p} \otimes \dots\otimes e_{ns}. Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

rank (A_1 \otimes \dots \otimes A_n) = rank A_1 \cdot \dots \cdot rank A_n.

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]