Тензорний добуток

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів $A$ і $B$ є лінійний простір, що позначається $A \otimes B$, для елементів $a\in A$ і $b\in B$, їх тензорний добуток $a \otimes b$ лежить у просторі $A \otimes B$.

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів

Скінченновимірні простори

Нехай $A$ і $B$ — скінченновимірні векторні простори над полем $K$, $\{ e_i \}_{i=1\dots n}$ — базис в $A$, $\{ f_k \}_{k=1\dots m}$ — базис в $B$. Тензорним добутком $A \otimes B$ просторів $A$ і $B$ будемо називати векторний простір, породжений елементами $e_i \otimes f_k$, що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток $a \otimes b$ довільних векторів $a \in A,~b\in B$ можна визначати, вважаючи операцію $\otimes$ білінійною:

$(\lambda a_1 + \mu a_2) \otimes b = \lambda\, a_1 \otimes b + \mu\, a_2 \otimes b,~~\lambda,\mu \in K$

$a \otimes (\lambda b_1 + \mu b_2) = \lambda\, a \otimes b_1 + \mu\, a \otimes b_2,~~\lambda,\mu \in K$

При цьому тензорний добуток довільних векторів $a$ і $b$ виражається як лінійна комбінація базисних векторів $e_i \otimes f_k$. Елементи у $A \otimes B$, що представляються у вигляді $a \otimes b$, називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність

Тензорний добуток  — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь якого іншого простору $C$ і білінійного відображення $\otimes^\prime: A \times B \to C$ існує єдиний гомоморфізм $f: A \otimes B \to C$ такий, що

$\otimes^\prime = f \circ \otimes$

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в $A$ і $B$, оскільки всі простори, які при цьому отримуються $A \otimes B$ виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення $L^2 \ni \varphi: A \times B \to C$ може бути визначене як лінійне відображення $L \ni \varphi: A \otimes B \to C$, при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори $\ L^2(A \times B, C)$ і $L(A\otimes B, C)$ є канонічно ізоморфними.

Часткові випадки

Тензорний добуток двох векторів

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} \rightarrow \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3\end{bmatrix}$

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах мається на увазі сумування):

$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} \rightarrow a_ib^j$

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку векторів — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

$P_i^{\ j} = a_ib^j$

$P_{ij}\ = a_ib_j$

$P^{ij}\ = a^ib^j$

Добуток двох векторів називається також діадним, а результат (тензор другого рангу) — діадою.

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на просторів векторів рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів

Нехай $A: U_1 \to U_2$, $B: W_1 \to W_2$ — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів $A\otimes B: U_1\otimes W_1 \to U_2\otimes W_2$ визначається за правилом

$(A\otimes B)(u\otimes w) = (A u)\otimes (B w),~~ u\in U_1,\,w\in W_1$

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

$\mathrm{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

$\mathrm{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}$

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

$\mathrm{A} \otimes \mathrm{B} = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}$

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості

• $\dim A\otimes B = \dim A \cdot \dim B$

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

• Асоціативність

$(A \otimes B)\otimes C \simeq A \otimes(B \otimes C)$

• Комутативність

$A \otimes B \simeq B \otimes A$

• Лінійність

$A \otimes (B \oplus C) \simeq (A\otimes B) \oplus (A \otimes C)$

$\oplus$ — зовнішня сума лінійних просторів.

Варіації і узагальнення

Нехай $A_1,A_2,\dots,A_n$ — модулі над деяким комутативним кільцем $R$. Тензорним добутком цих модулів називається модуль $B$ над $R$, даний разом з полілінійним відображенням $f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B$ і володіє властивість універсальності, тобто такий, що для будь якого модуля $C$ над $R$ і будь якого полілінійного відображення $g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h\colon B \to C$ такий, що діаграма

комутативна. Тензорний добуток позначається $A_1 \otimes\ldots\otimes A_n$. Із універсальності тензорного добутку виходить, що воно визначено з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль $M$, твірними якого будуть n-ки елементів модулів $(x_1,\dots,x_n)$ где $x_i \in A_i$. Нехай $N$ — підмодуль $M$, що породжується такими елементами:

1. $(x_1,\dots,x_i + y_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,x_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,y_i,\dots,x_n)$
2. $(x_1,\dots,\lambda x_i,\dots,x_n) - \lambda(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)$

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль $B=M/N$, клас $(x_1,\dots,x_n) + N$ позначається $x_1 \otimes \dots \otimes x_n$, і називається тензорним добутком елементів $x_i$, a $f$ визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення $f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B$ полілінійне. Доведемо, що для будь якого модулю $C$ і будь якого полілінійного відображення $g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h$, такой, что $g = h \circ f$.

Насправді, оскільки $M$ вільний, то існує єдине відображення $h^*$, що робить діаграму

Файл:Tensor product2.gif

комутативною, а в силу того, що $g$ полілінійне, то на $N$ $h^*(N) = 0$, звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що $h\colon M/N \to C$, буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існвання якого і потрібно було довести.

Елементи $A_1 \otimes \dots \otimes A_n$, що представляються у вигляді $x_1 \otimes \dots \otimes x_n$, називаються розкладними.

Якщо $f_i\colon A_i \to B_i$ — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

$f_1\otimes\dots\otimes f_n\colon A_1\otimes\dots\otimes A_n \to B_1\otimes\dots\otimes B_n$

що відповідє по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів $f_i$.

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай $e_{i 1},\dots,e_{i n}$ — базис модуля $A_i$. Побудуємо вільний модуль $F$ над нашим кільцем, що має в якості базису елементи, що відповідають n-кам $(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s})$, визначивши відображення $f(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) \to (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s})$ і поширючи його на $A_1 \times \dots \times A_n$ по лінійності. Тоді $F$ є тензорним добутком, де $(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s})$ є тензорним добутком елементів $e_{1m} \otimes e_{2p} \otimes \dots\otimes e_{ns}$. Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

$rank (A_1 \otimes \dots \otimes A_n) = rank A_1 \cdot \dots \cdot rank A_n$.

Література

• Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 

Див. також

• Згортка тензора
• Тензор
• Тензорне поле