Тензор Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Тензор Рімана $R^s_{\,ijk}$ (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

$(1) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a_i = - R^s_{\,ijk} a_s$

$(2) \qquad R^s_{\,ijk} = \partial_j \Gamma_{ik}^s - \partial_k \Gamma_{ij}^s + \Gamma_{ij}^p \Gamma_{pk}^s - \Gamma_{ik}^p \Gamma_{pj}^s$

Замість коваріантних компонент $a i$ можна підставити базисні вектори $\mathbf{r}_i$ :

$(3) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s$

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів $\nabla_j \mathbf{r}_i$ дорівнює векторам повної кривини $\mathbf{b}_{ij}$ (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

$(3) \qquad \nabla_j \mathbf{b}_{ik} - \nabla_k \mathbf{b}_{ij} = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s$

Домножимо формулу (3) скалярно на $\mathbf{r}_p$ , i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: $(\mathbf{r}_s \cdot \mathbf{b}_{ij}) = 0$ . В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

$- R_{pijk} = - R^s_{\,ijk} (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_s) = -(\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_j \mathbf{b}_{ik})) + (\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_k \mathbf{b}_{ij})) =$

$= - (\nabla_j (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{b}_{ik}) + ((\nabla_j \mathbf{r}_p) \cdot \mathbf{b}_{ik})) + ( \nabla_k (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{b}_{ij}) - ((\nabla_k \mathbf{r}_p) \cdot \mathbf{b}_{ij} ) ) =$

$= - ( 0 - (\mathbf{b}_{jp} \cdot \mathbf{b}_{ik})) + (0 - (\mathbf{b}_{kp} \cdot \mathbf{b}_{ij})) = (\mathbf{b}_{pj} \cdot \mathbf{b}_{ik}) - (\mathbf{b}_{pk} \cdot \mathbf{b}_{ij})$

або після зміни знаку і перейменування індексів:

$(4) \qquad R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk})$

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси $k$ і $l$ переставлені), тензор Рімана антисиметричний по першій парі індексів $i j$ і по другій парі індексів $k l$ (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

$(5) \qquad R_{ijkl} = -R_{jikl} = -R_{ijlk}$

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів $i j$ з другою парою індексів $k l$ (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини $\mathbf{b}_{ij}$ симетричні по індексам, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

$(6) \qquad R_{ijkl} = R_{klij}$

Згортка тензора Рімана по першому і третьому індексах (або, що еквівалентно, по другому і четвертому індексах) дає симетричний тензор другого рангу $R i k$ , який називається тензором Річчі:

$(7) \qquad R_{ik} = g^{jl} R_{ijkl}$

Тензор Річчі симетричний:

$(8) \qquad R_{ik} = R_{ki}$

Тензор Річчі можна також згорнути по індексах, одержавши скалярну кривину:

$(9) \qquad R = g^{ik} R_{ik}$

Враховуючи (4), маємо:

$(10) \qquad R = (\mathbf{b}_i^i)^2 - (\mathbf{b}_i^j \cdot \mathbf{b}_j^i)$

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс $i$ у формулі (1):

$(11) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a^i = -R^{si}_{\;jk} a_s = R^{is}_{\;jk} a_s = R^i_{\,sjk} a^s$

Оскільки комутатор коваріантних похідних $[\nabla_i \nabla_j]$ діє на добуток тензорів $T U$ по правилу диференціального оператора:

$[\nabla_i \nabla_j] (TU) = ([\nabla_i \nabla_j] T) U + T ([\nabla_i \nabla_j] U)$

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

$(12) \qquad [\nabla_j \nabla_k] T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} = R^{i_1}_{\;sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{s i_2 \cdots} + R^{i_2}_{\;sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 s \cdots} + \cdots - R^s_{\, l_1 jk} T_{s l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} - R^s_{\, l_2 jk} T_{l_1 s \cdots}^{i_1 i_2 \cdots}$