Тензор кривини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензор Рімана R^s_{\,ijk} (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

(1) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a_i = - R^s_{\,ijk} a_s
(2) \qquad R^s_{\,ijk} = \partial_j \Gamma_{ik}^s - \partial_k \Gamma_{ij}^s + \Gamma_{ij}^p \Gamma_{pk}^s - \Gamma_{ik}^p \Gamma_{pj}^s

Замість коваріантних компонент a_i можна підставити базисні вектори \mathbf{r}_i:

(3) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів \nabla_j \mathbf{r}_i дорівнює векторам повної кривини \mathbf{b}_{ij} (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

(3) \qquad \nabla_j \mathbf{b}_{ik} - \nabla_k \mathbf{b}_{ij} = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s

Домножимо формулу (3) скалярно на \mathbf{r}_p, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: (\mathbf{r}_s \cdot \mathbf{b}_{ij}) = 0. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

 - R_{pijk} = - R^s_{\,ijk} (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_s) = -(\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_j \mathbf{b}_{ik})) + (\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_k \mathbf{b}_{ij})) =
 = - (\nabla_j (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{b}_{ik}) + ((\nabla_j \mathbf{r}_p) \cdot \mathbf{b}_{ik})) + ( \nabla_k (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{b}_{ij}) - ((\nabla_k \mathbf{r}_p) \cdot \mathbf{b}_{ij} ) ) =
 = - ( 0 - (\mathbf{b}_{jp} \cdot \mathbf{b}_{ik})) + (0 - (\mathbf{b}_{kp} \cdot \mathbf{b}_{ij})) = (\mathbf{b}_{pj} \cdot \mathbf{b}_{ik}) - (\mathbf{b}_{pk} \cdot \mathbf{b}_{ij})

або після зміни знаку і перейменування індексів:

(4) \qquad R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk})

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси k і l переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів ij і за другою парою індексів kl (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

(5) \qquad R_{ijkl} = -R_{jikl} = -R_{ijlk}

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів ij з другою парою індексів kl (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини \mathbf{b}_{ij} симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

(6) \qquad R_{ijkl} = R_{klij}

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу R_{ik}, який називається тензором Річчі:

(7) \qquad R_{ik} = g^{jl} R_{ijkl}

Тензор Річчі симетричний:

(8) \qquad R_{ik} = R_{ki}

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

(9) \qquad R = g^{ik} R_{ik}

Враховуючи (4), маємо:

(10) \qquad R = (\mathbf{b}_i^i)^2 - (\mathbf{b}_i^j \cdot \mathbf{b}_j^i)

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс i у формулі (1):

(11) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a^i = -R^{si}_{\;jk} a_s = R^{is}_{\;jk} a_s = R^i_{\,sjk} a^s

Оскільки комутатор коваріантних похідних [\nabla_i \nabla_j] діє на добуток тензорів TU за правилом диференціального оператора:

[\nabla_i \nabla_j] (TU) = ([\nabla_i \nabla_j] T) U + T ([\nabla_i \nabla_j] U)

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

(12) \qquad [\nabla_j \nabla_k] T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} = R^{i_1}_{\;sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{s i_2 \cdots} + R^{i_2}_{\;sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 s \cdots} + \cdots - R^s_{\, l_1 jk} T_{s l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} - R^s_{\, l_2 jk} T_{l_1 s \cdots}^{i_1 i_2 \cdots}

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі.
Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів ijk):

(13) \qquad R_{sijk} + R_{sjki} + R_{skij} = 0

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів pjk):

(14) \qquad \nabla_p R^s_{\,ijk} + \nabla_j R^s_{\,ikp} + \nabla_k R^s_{\,ipj} = 0

Існування декартової системи координат[ред.ред. код]

Якщо існує декартова система координат, то R_{ijkl} = 0[ред.ред. код]

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці g_{ij} = \delta_{ij}), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора \partial_k g_{ij} = 0, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

\Gamma_{ij}^k = {1 \over 2} g^{ks} (\partial_i g_{js} + \partial_j g_{is} - \partial_s g_{ij}) = 0

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

R^s_{\;ijk} = \partial_j \Gamma_{ik}^s - \partial_k \Gamma_{ij}^k + \Gamma_{jp}^s \Gamma_{ik}^p - \Gamma_{kp}^s \Gamma_{ij}^p = 0

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

\tilde R^s_{\;ijk} = R^p_{\;lmn} {\partial \tilde u^s \over \partial u^p} {\partial u^l \over \partial \tilde u^i} {\partial u^m \over \partial \tilde u^j} {\partial u^n \over \partial \tilde u^k}

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.


Якщо R_{ijkl} = 0, то можна побудувати декартову систему координат[ред.ред. код]

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку P в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою v (взагалі-то кількість базисних векторів n, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки P, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору v. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

(1) \qquad v_i = v_i (u^1, u^2, \dots u^n)

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

(2) \qquad \nabla_j v_i = 0

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

(3) \qquad 0 = \nabla_j v_i - \nabla_i v_j = (\partial_j v_i - \Gamma_{ji}^k v_k) - (\partial_i v_j - \Gamma_{ij}^k v_k) = \partial_j v_i - \partial_i v_j = 0

Тепер, оскільки

(4) \qquad \partial_j v_i = \partial_i v_j

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції \phi = \phi(u^1, u^2, \dots u^n):

(5) \qquad v_i = \partial_i \phi

Функцію \phi в якійсь точці Q області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат P і точку Q:

(7) \qquad \phi \big|_Q = \int_P^Q v_i du^i

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція \phi = \phi(u^1, u^2, \dots u^n) і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, на цей раз уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

(8) \qquad v_i^{(k)} = \partial_i \phi^{(k)}

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

(9) \qquad g^{ij} {\partial \phi^{(k)} \over \partial u^i} {\partial \phi^{(l)} \over \partial u^j} = \delta^{kl}

тобто координати \phi^{(k)} є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору[ред.ред. код]

Розглянемо рівність:

(10) \qquad R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk}) = 0

в якійсь точці P многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

\mathbf{k} = \mathbf{b}_{ij} \tau^i \tau^j
\tilde {\mathbf{k}} = \mathbf{b}_{ij} {\tilde \tau}^i {\tilde \tau}^j

Тепер домножимо (10) на добуток \tau^i {\tilde \tau}^j \tau^k {\tilde \tau}^l, одержимо:

(\mathbf{k} \cdot \tilde {\mathbf{k}}) = (\mathbf{b}_{ij} \tau^i {\tilde \tau}^j)^2 \ge 0

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також[ред.ред. код]