Тензор кривини

Тензор Рімана $R^s_{\,ijk}$ (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

$(1) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a_i = - R^s_{\,ijk} a_s$

$(2) \qquad R^s_{\,ijk} = \partial_j \Gamma_{ik}^s - \partial_k \Gamma_{ij}^s + \Gamma_{ij}^p \Gamma_{pk}^s - \Gamma_{ik}^p \Gamma_{pj}^s$

Замість коваріантних компонент $a_i$ можна підставити базисні вектори $\mathbf{r}_i$:

$(3) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s$

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів $\nabla_j \mathbf{r}_i$ дорівнює векторам повної кривини $\mathbf{b}_{ij}$ (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

$(3) \qquad \nabla_j \mathbf{b}_{ik} - \nabla_k \mathbf{b}_{ij} = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s$

Домножимо формулу (3) скалярно на $\mathbf{r}_p$, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: $(\mathbf{r}_s \cdot \mathbf{b}_{ij}) = 0$. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

$- R_{pijk} = - R^s_{\,ijk} (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_s) = -(\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_j \mathbf{b}_{ik})) + (\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_k \mathbf{b}_{ij})) =$

$= - (\nabla_j (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{b}_{ik}) + ((\nabla_j \mathbf{r}_p) \cdot \mathbf{b}_{ik})) + ( \nabla_k (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{b}_{ij}) - ((\nabla_k \mathbf{r}_p) \cdot \mathbf{b}_{ij} ) ) =$

$= - ( 0 - (\mathbf{b}_{jp} \cdot \mathbf{b}_{ik})) + (0 - (\mathbf{b}_{kp} \cdot \mathbf{b}_{ij})) = (\mathbf{b}_{pj} \cdot \mathbf{b}_{ik}) - (\mathbf{b}_{pk} \cdot \mathbf{b}_{ij})$

або після зміни знаку і перейменування індексів:

$(4) \qquad R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk})$

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси $k$ і $l$ переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів $ij$ і за другою парою індексів $kl$ (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

$(5) \qquad R_{ijkl} = -R_{jikl} = -R_{ijlk}$

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів $ij$ з другою парою індексів $kl$ (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини $\mathbf{b}_{ij}$ симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

$(6) \qquad R_{ijkl} = R_{klij}$

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу $R_{ik}$, який називається тензором Річчі:

$(7) \qquad R_{ik} = g^{jl} R_{ijkl}$

Тензор Річчі симетричний:

$(8) \qquad R_{ik} = R_{ki}$

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

$(9) \qquad R = g^{ik} R_{ik}$

Враховуючи (4), маємо:

$(10) \qquad R = (\mathbf{b}_i^i)^2 - (\mathbf{b}_i^j \cdot \mathbf{b}_j^i)$

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс $i$ у формулі (1):

$(11) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a^i = -R^{si}_{\;jk} a_s = R^{is}_{\;jk} a_s = R^i_{\,sjk} a^s$

Оскільки комутатор коваріантних похідних $[\nabla_i \nabla_j]$ діє на добуток тензорів $TU$ за правилом диференціального оператора:

$[\nabla_i \nabla_j] (TU) = ([\nabla_i \nabla_j] T) U + T ([\nabla_i \nabla_j] U)$

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

$(12) \qquad [\nabla_j \nabla_k] T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} = R^{i_1}_{\;sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{s i_2 \cdots} + R^{i_2}_{\;sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 s \cdots} + \cdots - R^s_{\, l_1 jk} T_{s l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} - R^s_{\, l_2 jk} T_{l_1 s \cdots}^{i_1 i_2 \cdots}$

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі.
Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів $ijk$):

$(13) \qquad R_{sijk} + R_{sjki} + R_{skij} = 0$

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів $pjk$):

$(14) \qquad \nabla_p R^s_{\,ijk} + \nabla_j R^s_{\,ikp} + \nabla_k R^s_{\,ipj} = 0$

Існування декартової системи координат

Якщо існує декартова система координат, то $R_{ijkl} = 0$

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці $g_{ij} = \delta_{ij}$), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора $\partial_k g_{ij} = 0$, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

$\Gamma_{ij}^k = {1 \over 2} g^{ks} (\partial_i g_{js} + \partial_j g_{is} - \partial_s g_{ij}) = 0$

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

$R^s_{\;ijk} = \partial_j \Gamma_{ik}^s - \partial_k \Gamma_{ij}^k + \Gamma_{jp}^s \Gamma_{ik}^p - \Gamma_{kp}^s \Gamma_{ij}^p = 0$

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

$\tilde R^s_{\;ijk} = R^p_{\;lmn} {\partial \tilde u^s \over \partial u^p} {\partial u^l \over \partial \tilde u^i} {\partial u^m \over \partial \tilde u^j} {\partial u^n \over \partial \tilde u^k}$

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.

Якщо $R_{ijkl} = 0$, то можна побудувати декартову систему координат

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку $P$ в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою $v$ (взагалі-то кількість базисних векторів $n$, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки $P$, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору $v$. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

$(1) \qquad v_i = v_i (u^1, u^2, \dots u^n)$

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

$(2) \qquad \nabla_j v_i = 0$

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

$(3) \qquad 0 = \nabla_j v_i - \nabla_i v_j = (\partial_j v_i - \Gamma_{ji}^k v_k) - (\partial_i v_j - \Gamma_{ij}^k v_k) = \partial_j v_i - \partial_i v_j = 0$

Тепер, оскільки

$(4) \qquad \partial_j v_i = \partial_i v_j$

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції $\phi = \phi(u^1, u^2, \dots u^n)$:

$(5) \qquad v_i = \partial_i \phi$

Функцію $\phi$ в якійсь точці $Q$ області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат $P$ і точку $Q$:

$(7) \qquad \phi \big|_Q = \int_P^Q v_i du^i$

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція $\phi = \phi(u^1, u^2, \dots u^n)$ і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, на цей раз уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

$(8) \qquad v_i^{(k)} = \partial_i \phi^{(k)}$

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

$(9) \qquad g^{ij} {\partial \phi^{(k)} \over \partial u^i} {\partial \phi^{(l)} \over \partial u^j} = \delta^{kl}$

тобто координати $\phi^{(k)}$ є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору

Розглянемо рівність:

$(10) \qquad R_{ijkl} = (\mathbf{b}_{ik} \cdot \mathbf{b}_{jl}) - (\mathbf{b}_{il} \cdot \mathbf{b}_{jk}) = 0$

в якійсь точці $P$ многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

$\mathbf{k} = \mathbf{b}_{ij} \tau^i \tau^j$

$\tilde {\mathbf{k}} = \mathbf{b}_{ij} {\tilde \tau}^i {\tilde \tau}^j$

Тепер домножимо (10) на добуток $\tau^i {\tilde \tau}^j \tau^k {\tilde \tau}^l$, одержимо:

$(\mathbf{k} \cdot \tilde {\mathbf{k}}) = (\mathbf{b}_{ij} \tau^i {\tilde \tau}^j)^2 \ge 0$

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також

• Розклад Річчі
• Перетворення кривини