Теорема Єгорова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{S},\mu)вимірний простір, в Eпідмножина X скінченної міри. Якщо послідовність f_n вимірних функцій збігається майже всюди до функції f, тоді для довільного числа \delta>0 існує множина E_\delta така що \mu(E_\delta)<\delta і збіжність f_n\rightarrow f є рівномірною на доповненні E-E_\delta.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай E_{i,j} = \{x\in E: |f_j(x) - f(x)|< 1/i\}. Оскільки f_n\to f майже всюди, існує множина S для якої \mu(S)=0 і для i\in \N і x\in E-S існує таке m\in \N, що з j>m випливає |f_j(x)-f(x)|<1/i. Це можна записати як:

E-S\subset \cup_{m\in \N} \cap_{j>m} E_{i,j},

або еквівалентно,

\cap_{m\in \N}\cup_{j>m} (E-E_{i,j})\subset S.

Оскільки \{\cup_{j>m} (E-E_{i,j})\}_{m\in \N} є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

\mu(\cup_{j>m}(E-E_{i,j}))\xrightarrow[m\to \infty]{} 0.

Тому для довільного i\in \N, можна вибрати m_i, так що

\mu(\cup_{j>m_i}(E-E_{i,j})) < \frac{\delta}{2^i}.

Нехай E_\delta = \cup_{i\in \N}\cup_{j>m_i}(E-E_{i,j}). Тоді \mu(E_\delta)\leq \sum_{i=1}^\infty \mu(\cup_{j>m_i}(E-E_{i,j})) < \sum_{i=1}^\infty \frac{\delta}{2^i} = \delta. Збіжність f_n\to f є рівномірною на множині E-E_\delta. Справді для довільного \varepsilon>0, існує n таке що 1/n<\varepsilon. Якщо x\in E-E_\delta, тоді x\in\cap_{i\in \N}\cap_{j>m_i}E_{i,j}, звідки випливає, що для j>m_n, x\in E_{n,j}; тобто, |f_j(x) - f(x)|< 1/n < \varepsilon. Тому для довільного \varepsilon>0 існує N (визначене вище як m_n), що для j>N виконується |f_j(x)-f(x)|<\varepsilon для довільного x\in E-E_\delta. Тобто на множині x\in E-E_\delta збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.

Дивіться також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]