Теорема Єгорова

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Зміст

1 Твердження теореми
2 Доведення
3 Дивіться також
4 Посилання
5 Література

Твердження теореми [ред.]

Нехай $(X,\mathcal{S},\mu)$ — вимірний простір, в $E$ — підмножина $X$ скінченної міри. Якщо послідовність $f_n$ вимірних функцій збігається майже всюди до функції $f$ , тоді для довільного числа $\delta>0$ існує множина $E_\delta$ така що $\mu(E_\delta)<\delta$ і збіжність $f_n\rightarrow f$ є рівномірною на доповненні $E-E_\delta$ .

Доведення [ред.]

Нехай $E_{i,j} = \{x\in E: |f_j(x) - f(x)|< 1/i\}.$ Оскільки $f_n\to f$ майже всюди, існує множина $S$ для якої $\mu(S)=0$ і для $i\in \N$ і $x\in E-S$ існує таке $m\in \N,$ що з $j>m$ випливає $|f_j(x)-f(x)|<1/i$ . Це можна записати як:

$E-S\subset \cup_{m\in \N} \cap_{j>m} E_{i,j},$

або еквівалентно,

$\cap_{m\in \N}\cup_{j>m} (E-E_{i,j})\subset S.$

Оскільки $\{\cup_{j>m} (E-E_{i,j})\}_{m\in \N}$ є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

$\mu(\cup_{j>m}(E-E_{i,j}))\xrightarrow[m\to \infty]{} 0.$

Тому для довільного $i\in \N$ , можна вибрати $m_i,$ так що

$\mu(\cup_{j>m_i}(E-E_{i,j})) < \frac{\delta}{2^i}.$

Нехай $E_\delta = \cup_{i\in \N}\cup_{j>m_i}(E-E_{i,j}).$ Тоді $\mu(E_\delta)\leq \sum_{i=1}^\infty \mu(\cup_{j>m_i}(E-E_{i,j})) < \sum_{i=1}^\infty \frac{\delta}{2^i} = \delta.$ Збіжність $f_n\to f$ є рівномірною на множині $E-E_\delta$ . Справді для довільного $\varepsilon>0$ , існує $n$ таке що $1/n<\varepsilon$ . Якщо $x\in E-E_\delta$ , тоді $x\in\cap_{i\in \N}\cap_{j>m_i}E_{i,j},$ звідки випливає, що для $j>m_n$ , $x\in E_{n,j}$ ; тобто, $|f_j(x) - f(x)|< 1/n < \varepsilon$ . Тому для довільного $\varepsilon>0$ існує $N$ (визначене вище як $m_n$ ), що для $j>N$ виконується $|f_j(x)-f(x)|<\varepsilon$ для довільного $x\in E-E_\delta$ . Тобто на множині $x\in E-E_\delta$ збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.