Теорема Абеля—Руффіні

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах. Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає корені многочлена п'ятого чи вищого степеня.

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння $\ n$ -го степеня має $\ n$ комплексних коренів. Хоча над над іншими полями цих коренів може і не існувати.

Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Історія [ред.]

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті. Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа [ред.]

Група Галуа описує групи перестановок $\ S_n$ коренів многочленів.

При $n \geq 5$ група перестановок $\ S_n$ не є розв'язною.

Доведення теореми [ред.]

Нехай $\ y_1$ — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел $\Q$ , та $\ y_2$ — трансцендентне над $\Q(y_1)$ , і так далі до $\ y_5$ що трансцендентне над $\Q(y_1, y_2, y_3, y_4)$ .

Позначимо $\ E = \Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5),$ тоді:

$f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].$

Відкривши дужки, отримаємо що $\ f(x)$ є симетричною функцією відносно $\ y_n,$ оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

$\ s_1 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5$

$\ s_2 = y_1y_2 + y_1y_3 + \cdots + y_4y_5$

і так далі до

$\ s_5 = y_1y_2y_3y_4y_5.$

Кожна перестановка $\ \sigma$ групи $\ S_5$ означає автоморфізм $\ \sigma'$ на $\ E$ що залишає $\Q$ нерухомим та переставляє $\ y_n.$ Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже $\ E$ також є нерухомим, отже утворює групу Галуа