Теорема Абеля—Руффіні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах. Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає корені многочлена п'ятого чи вищого степеня.

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння \ n-го степеня має \ n комплексних коренів. Хоча над над іншими полями цих коренів може і не існувати.

Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Історія[ред.ред. код]

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті. Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа[ред.ред. код]

Група Галуа описує групи перестановок \ S_n коренів многочленів.

При n \geq 5 група перестановок \ S_n не є розв'язною.

Доведення теореми[ред.ред. код]

Нехай \ y_1 — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел \Q, та \ y_2 — трансцендентне над \Q(y_1), і так далі до \ y_5 що трансцендентне над \Q(y_1, y_2, y_3, y_4).

Позначимо \ E = \Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5), тоді:

f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].

Відкривши дужки, отримаємо що \ f(x) є симетричною функцією відносно \ y_n, оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

\ s_1 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5
\ s_2 = y_1y_2 + y_1y_3 + \cdots + y_4y_5

і так далі до

\ s_5 = y_1y_2y_3y_4y_5.

Кожна перестановка \ \sigma групи \ S_5 означає автоморфізм \ \sigma' на \ E що залишає \Q нерухомим та переставляє \ y_n. Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже \ E також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

\ |G(E/F)| = |S_5|=5!

Єдиним розкладом \ S_5 є

\ S_5 \ge A_5 \ge \{e\} (де \ A_5 — альтернативна група).

Факторгрупа \ A_5/\{e\} (ізоморфна самій \ A_5) не є абелевою групою, тому \ S_5 не є розв'язною.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]