Теорема Банаха про нерухому точку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Всяке стискуюче відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

Пояснення[ред.ред. код]

Нехай (X,d) — метричний простір, A:X\to Xвідображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент x_0\in X, потім покласти x_1=A(x_0), після цього взяти x_2=A(x_1), далі — x_3=A(x_2), і так далі. Отрималась послідовність (x_n), яка прямує до шуканого елемента x (при n\to \infty)

Доведення[ред.ред. код]

Нехай (X,d) — метричний простір, A:X\to X — стискуюче відображення. Розглянемо послідовність наближень (x_n), x_n\in X, n\in\mathbb{N}_0, у якій x_n=A(x_{n-1}),\; n\in\mathbb{N}, а x_0\in X — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого n_0\in \mathbb{N} виконуватиметься нерівність d(x_n,x_m)<\epsilon. Дійсно, оскільки A - стискуюче відображення, тоді існує \alpha\in[0,1) (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх x,y\in X виконуватиметься нерівність: d(A(x),A(y))\le \alpha d(x,y). Візьмемо ε>0, а також n_0 таке, щоб d(x_1,x_0)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}<\varepsilon (очевидно, що це завжди можна зробити, бо d(x_1,x_0)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha} прямує до 0 при n_0\to\infty). Розглянемо d(x_m,x_n), не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n: d(x_m,x_n)\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_n)\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+d(x_{m-1},x_n)\le ... \le \le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+...+d(x_{n+1},x_n)\le \le \alpha^{m-1}d(x_1,x_0)+\alpha^{m-2}d(x_1,x_0)+...+\alpha^{n}d(x_1,x_0)= =d(x_1,x_0)(\alpha^{m-1}+\alpha^{m-2}+...+\alpha^{n})<d(x_0,x_1)\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha}<d(x_0,x_1)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}<\varepsilon, що і означає фундаментальність послідовності (x_n). Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність (x_n) збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}A(x_{n-1})=A(\lim_{n\to \infty}x_{n-1})=A(x), тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного x\in X і \overline{x}\in X такі, що A(x)=x, A(\overline{x})=\overline{x}, тоді з одного боку (оскільки x та \overline{x} — нерухомі точки) d(x,\overline{x})=d(A(x),A(\overline{x})), з іншого, зважаючи на те, що A — стискуюче відображення, d(A(x),A(\overline{x}))<d(x,\overline{x}). Отримана суперечність доводить єдиність.

Теорему доведено.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]