Теорема Банаха про нерухому точку

Ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни.

Формулювання теореми

Всяке стискуюче відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

Пояснення

Нехай (X,d) — метричний простір, $A:X\to X$ — відображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент $x_0\in X$, потім покласти $x_1=A(x_0)$, після цього взяти $x_2=A(x_1)$, далі — $x_3=A(x_2)$, і так далі. Отрималась послідовність $(x_n)$, яка прямує до шуканого елемента x (при $n\to \infty$)

Доведення

Нехай (X,d) — метричний простір, $A:X\to X$ — стискуюче відображення. Розглянемо послідовність наближень $(x_n), x_n\in X, n\in\mathbb{N}_0$, у якій $x_n=A(x_{n-1}),\; n\in\mathbb{N}$, а $x_0\in X$ — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого $n_0\in \mathbb{N}$ виконуватиметься нерівність $d(x_n,x_m)<\epsilon$. Дійсно, оскільки A - стискуюче відображення, тоді існує $\alpha\in[0,1)$ (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх $x,y\in X$ виконуватиметься нерівність: $d(A(x),A(y))\le \alpha d(x,y)$. Візьмемо ε>0, а також $n_0$ таке, щоб $d(x_1,x_0)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}<\varepsilon$ (очевидно, що це завжди можна зробити, бо $d(x_1,x_0)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}$ прямує до 0 при $n_0\to\infty$). Розглянемо $d(x_m,x_n)$, не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n: $d(x_m,x_n)\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_n)\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+d(x_{m-1},x_n)\le ... \le$ $\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+...+d(x_{n+1},x_n)\le$ $\le \alpha^{m-1}d(x_1,x_0)+\alpha^{m-2}d(x_1,x_0)+...+\alpha^{n}d(x_1,x_0)=$ $=d(x_1,x_0)(\alpha^{m-1}+\alpha^{m-2}+...+\alpha^{n})<d(x_0,x_1)\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha}<d(x_0,x_1)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}<\varepsilon$, що і означає фундаментальність послідовності $(x_n)$. Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність $(x_n)$ збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді $x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}A(x_{n-1})=A(\lim_{n\to \infty}x_{n-1})=A(x)$, тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного $x\in X$ і $\overline{x}\in X$ такі, що $A(x)=x, A(\overline{x})=\overline{x}$, тоді з одного боку (оскільки x та $\overline{x}$ — нерухомі точки) $d(x,\overline{x})=d(A(x),A(\overline{x}))$, з іншого, зважаючи на те, що A — стискуюче відображення, $d(A(x),A(\overline{x}))<d(x,\overline{x})$. Отримана суперечність доводить єдиність.

Теорему доведено.

Див. також

• Метричний простір
• Повний метричний простір

Література

• М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. - 430 с.
• Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.
• Люстерниик Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.

Посилання

• 1. Курс диференціальних рівнянь. Розділ 2