Теорема Барб'є

Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.

Формулювання

Теорема.

Довжина будь-якої кривої сталої ширини $a$ дорівнює $\pi a$.

Доведення

Існує кілька доведень теореми Барб'є:

• Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини $a$, якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса $a$. З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса $a$, тобто $\pi a$.
• Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані $d$ одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює ${\frac {L}{\pi d}}$, де $L$ — периметр цієї фігури. Оскільки фігура сталої ширини $a$ задовольняє умові цієї теореми для $d=a$, а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати $\pi a$.

Варіації та узагальнення

• Теорема Барб'є так само виконується для фігур сталої ширини в площині Мінковського.
• Формула Крофтона

Література

• Barbier E. . — Т. 5. — С. 273—286.
• Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut the Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
• Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin : Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8. (англ.)
• Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.