Теорема Безу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Безутеорема про остачу від ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.

Формулювання[ред.ред. код]

Остача від ділення многочлена \ P(x) на двочлен x-a\, дорівнює P(a)\,. Також многочлен степені n над полем C буде мати не більше за n коренів

Наслідок[ред.ред. код]

  • Число a є коренем многочлена P(x)\, тоді й тільки тоді, коли P(x)\, ділиться без остачі на двочлен x-a\,.

Доведення теореми Безу[ред.ред. код]

Якщо ділення многочлена P(x)\, на двочлен x-a\, дає остачу R (R = \mbox{const}\,), тоді P(x)\, можна записати у вигляді

P(x) = (x - a)Q(x) + R\, ,

де Q(x)\, - многочлен нижчого степеня (\deg Q(x) < \deg P(x)\,). Значення P(x)\, в точці a\, дорівнює P(a) = (a - a)Q(a) + R = R\,, що й треба довести.

P(a) = 0\, (тобто число a є коренем многочлена) тоді й тільки тоді, коли R = 0\,.