Теорема Больцано — Вейєрштрасса

Нехай $(X,\Tau)$ — топологічний простір, $A$ підмножина $X$ Тоді:

• Якщо $A$ компактна, то для будь-якої послідовності $\{x_n \}$ з $A$ гранична точка цієї послідовності також належить $A$.
• І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього $(X,\Tau)$ задовільняє другу аксіому зліченності, то $A$ є компактною підмножиною.

Зокрема якщо $(X,\Tau)$ задовільняє другу аксіому зліченності, то $A$ буде компактною тоді і лише тоді коли для всякої послідовності з $A$ гранична точка належить їй.

Історія

Ця теорема доведена чешсьским математиком Бернардом Больцано в 1817 році, пізніше була незалежно отримана Веєрштрасом.

Література

• R.Wald, General Relativity.