Теорема Вієта

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

Якщо $\ x_1, x_2, \ldots, x_n$ — корені многочлена $\ x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n$ (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти $\ a_1, \ldots, a_n$ виражаються в вигляді симетричних многочленів від коренів, а саме:

$\begin{matrix} a_1 &=& -(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \\ a_2 &=& x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n \\ a_3 &=& -(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_{n}) \\ \cdots & & \cdots \\ a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (x_1 x_2 \ldots x_{n-1} + x_1 x_2 \ldots x_{n-2} x_n + \ldots + x_2 x_3...x_n) \\ a_n &=& (-1)^n x_1 x_2 \ldots x_n \end{matrix}.$

Іншими словами $\ (-1)^k a_k$ дорівнює сумі всіх можливих $\ k$-добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена $\ a_0 \ne 1$, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на $\ a_0.$

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність

$\ x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_n = (x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n).$

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після відкриття дужок, коефіцієнти при одинакових степенях x повинні бути одинаковими в обох частинах, з чого слідують формули Вієта.

Приклади

• Якщо $\ x_1, x_2$ корені квадратного рівняння $\ ax^2+bx+c=0$ то

$x_1 + x_2= \frac{-b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$

• В частковому випадку при $a=1$ (квадратне рівняння $\ x^2+px+q=0$), то

$\ x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 x_2 = q.$

Див. також

• Основна теорема алгебри