Теорема Вієта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули[ред.ред. код]

Якщо \ x_1, x_2, \ldots, x_n — корені многочлена \ x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти \ a_1, \ldots, a_n виражаються в вигляді симетричних многочленів від коренів, а саме:

\begin{matrix}
a_1 &=& -(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \\ 
a_2 &=& x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n \\ 
a_3 &=& -(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_{n}) \\ 
\cdots & & \cdots \\ 
a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (x_1 x_2 \ldots x_{n-1} + x_1 x_2 \ldots x_{n-2} x_n + \ldots + x_2 x_3...x_n) \\
a_n &=& (-1)^n x_1 x_2 \ldots x_n \end{matrix}.

Іншими словами \ (-1)^k a_k дорівнює сумі всіх можливих \ k-добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена \ a_0 \ne 1, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на \ a_0.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення[ред.ред. код]

Доведення використовує рівність

\ x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_n = (x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n).

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після відкриття дужок, коефіцієнти при одинакових степенях x повинні бути одинаковими в обох частинах, з чого слідують формули Вієта.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо \ x_1, x_2 корені квадратного рівняння \ ax^2+bx+c=0 то
x_1 + x_2= \frac{-b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.
  • В частковому випадку при a=1 (квадратне рівняння \ x^2+px+q=0), то
\ x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 x_2 = q.

Див. також[ред.ред. код]