Теорема Гріна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру C і подвійним інтегралом по області D, обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Формулювання[ред.ред. код]

D — область, обмежена замкнутою кривою C

Нехай C — додатньо орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а D — область, обмежена кривою C. Якщо функції P = P(x,y), Q = Q(x,y) визначені в області D і мають неперервні часткові похідні \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}, то

\oint_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива C замкнута.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай область D — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямі OY):

D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}

Для кривої C, що обмежує область D задамо напрям обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x,y)}^{y_2(x,y)} \frac{\partial P}{\partial y} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x))) \,dx =
= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (1)

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

\int\limits_{C_1} P(x,y)\,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y)\,dx = -\int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x))\,dx \quad (2)
\int\limits_{C_3} P(x,y)\,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x))\,dx \quad (3)

Інтеграл по C_1 береться із знаком «мінус», оскільки згідно з орієнтацією контура C напрям обходу даної частини — від b до a.

Криволінійні інтеграли по C_2 і C_4 будуть рівні нулю, оскільки x = \operatorname{const}:

\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)
\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою при правій орієнтації площини є відємним напрямом, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій C у відємному напрямі:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)

Аналогічно доводиться формула:

\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)

якщо як область D узяти область, правильну в напрямі OX.

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy

Література[ред.ред. код]

  • Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III, 1969, Москва: Наука.