Теорема Гурвіца про композитні алгебри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гурвіца про композитні алгебритеорема, що описує основні нормовані алгебри (не путати з нормованими(банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі).

Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році.

Визначення нормованої алгебри[ред.ред. код]

Алгебра називається нормованою, якщо в ній можна ввести скалярний добуток з властивістю: \ (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Оскільки ввівши норму \ |a| = (a,a)^{1/2}, отримаємо \ |ab| = |a|\cdot|b|.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Доведення[ред.ред. код]

Лема 1[ред.ред. код]

В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність \ (a_1 b_1, a_2 b_2) + (a_1 b_2, a_2 b_1) = 2 (a_1, a_2)(b_1, b_2).

Лема 2[ред.ред. код]

В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність \ (a b) \bar{b} = (b, b) a.

Наслідком леми є формула \ (ax) \bar{y} + (ay) \bar{x} = 2 (xy) a.

Доведення теореми[ред.ред. код]

Позначимо одиницю алгебри \ \mathcal{A} через \mathbf{1}.

Кожен елемент u \in \mathcal{A} можна представити єдиним чином у вигляді u = k \mathbf{1} + u^\prime, де u^\prime \perp \mathbf{1}.

Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином \bar u = k \mathbf{1} - u^\prime.


Нехай \ \mathcal{U} — деяка підалгебра, що містить \mathbf{1} і не збігається з \ \mathcal{A}.

Тоді існує одиничний вектор \ e, що ортогональний до \ \mathcal{U}.

Покажемо що елементи виду

u_1 + u_2 e \quad (u_1, u_2 \in \mathcal{U}) \qquad \qquad (*)

також утворюють підалгебру в \ \mathcal{A}. Позначимо її \mathcal{U + U} e.

Для цього доведемо:

  • Представлення довільного елемента з \mathcal{U + U} e у вигляді (*) можливе єдиним чином.
Доведення використовує Лему 1.
Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули: \ (ue)v=(u \bar{v})e, \; u(ve)=(vu)e, \; (ue)(ve)=-\bar{v}u.
З яких легко отримати дану формулу.

Довільна підалгебра \ \mathcal{U}, що містить \mathbf{1} і не збігається з \ \mathcal{A} є асоціативною.

Доведення використовує наслідок Леми 2.

Отже, оскільки алгебра \ \mathcal{A} містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду k \mathbf{1}, що ізоморфна алгебрі дійсних чисел \R.

Якщо \R не збігається з алгеброю \mathcal{A} то розглянемо підалгебру \C = \R + \R e, що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.

Якщо \C не збігається з алгеброю \mathcal{A} то розглянемо підалгебру \Q = \C + \C e^{\prime}, що ізоморфна алгебрі кватерніонів.

Якщо \Q не збігається з алгеброю \mathcal{A} то розглянемо підалгебру \mathbb{O} = \Q + \Q e^{\prime\prime}, що ізоморфна алгебрі октав.

Алгебра \mathbb{O} вже повинна збігатися з алгеброю \mathcal{A}, оскільки вона вже не є асоціативною.

Джерела[ред.ред. код]

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.