Теорема Гільберта про базис

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер:

якщо R\, — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай F\,ідеал в R[x]\, (ми тут вважатимемо R\, комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а p\, множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що p\, — ідеал.

Справді, якщо a\, і b\, — елементи p\,, то a\, і b\, є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з F\,f(x)=ax^n + ... і g(x)=bx^m +.... Якщо, наприклад, m \geq n, то a+b\, є старшим коефіцієнтом многочлена x^{m-n}f(x)+g(x) \in F. Якщо a\, є старшим коефіцієнтом f(x)\, то ar\, є старшим коефіцієнтом rf(x)\in F для будь-якого елементу r\,. Таким чином p\, — ідеал, а оскільки R\, — кільце Нетер, то p\, породжується деякими елементами a_1,a_2,...,a_n\,, старшими коефіцієнтами многочленів f_1,f_2,...,f_n \in F. Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний r\,. Можна вважати що степінь кожного з цих многочленів рівний r\, (якщо він рівний m \leq r, то можна зробити його таким помноживши на x^{r-m}.

Аналогічно доводиться що p_kмножина старших коефіцієнтів многочленів з F\,, степінь яких k\leq r (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами a_{k1},a_{k2},...,a_{kn}\,. Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів f_{k1},f_{k2},...,f_{kn} \in F степеня k\,

Доведемо, що ці многочлени f_1,f_2,...,f_n,f_{11},f_{12},...,f_{1n},f_{r-1,1},f_{r-1,2},...,f_{r-1,n} \in F породжують ідеал F\,. Нехай f(x)=ax^s+...\, — який-небудь многочлен ідеалу F\,, за визначенням a \in p. Якщо його степінь s\geq r то оскільки a\, по доведеному є лінійною комбінацією a=r_1a_1+r_2a_2+ ...+r_na_n\, старших членів многочленів f_1,f_2,...,f_n \in F степеня r\,, то ми одержимо, що f(x)-r_1x^{s-r}f_1+r_2x^{s-r}f_2+ ...+r_nx^{s-r}f_n буде многочленом степеня, меншого, ніж s\, і що також належить ідеалу F\,. Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів можна дійти до многочлена степеня не більшого r\,.

Для многочлена степеня k\leq r застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів f_{k1},f_{k2},...,f_{kn} \in F старші коефіцієнти яких породжують ідеал p_k\,. Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

Література[ред.ред. код]