Теорема Гільберта про нулі

Теоре́ма Гі́льберта про нулі ( також використовується німецька назва Nullstellensatz, що перекладається як "теорема про нулі") — теорема, що встановлює фундаментальний зв'язок між геометричними і алгебричними аспектами алгебричної геометрії. Вона пов'язує поняття алгебричної множини з поняттям ідеалу в кільцях многочленів над алгебрично замкнутими полями. Вперше доведена Давидом Гільбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) і названа на його честь.

Формулювання [ред.]

Нехай $K$ — алгебрично замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай $K[X_1,\dots,X_n]$ — кільце многочленів від змінних $X_1,\dots,X_n$ з коефіцієнтами з поля $K$ і нехай $I$ — ідеал в тому кільці.

Афінний многовид $V(I)$ , що визначається цим ідеалом, складається з усіх точок $x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n$ таких, що $f(x)=0$ для будь-якого $f\in I$ . Теорема Гільберта про нулі стверджує, що якщо деякий многочлен $p\in K[X_1,\dots,X_n]$ приймає значення нуль на многовиді $\ V(I)$ , тобто якщо $p(x)=0$ для всіх $x\in V(I)$ , то існує натуральне число $r$ таке, що многочлен $p^r$ міститься в $I$ .

Наслідком є наступна "слабка теорема Гільберта про нулі": якщо $I$ є власним ідеалом в кільці $K[X_1,\dots,X_n]$ , то $V(I)$ не може бути порожньою множиною, тобто існує загальний нуль для всіх многочленів даного ідеалу (виходить з того що інакше многочлен $p(x)=p^r(x)=1$ має коріння усюди на $V(I)$ через порожнечу останньої множини). Ця обставина і дала ім'я теоремі. Загальний випадок може бути легко виведений з "слабкої теореми" за допомогою так званого прийому Рабіновича. Припущення про те, що поле $K$ є алгебрично замкнутим, істотно: елементи власного ідеалу $(X^2+1)$ у $\mathbb R[X]$ не мають загального нуля.

Використовуючи стандартну термінологію комутативної алгебри теорему Гільберта про нулі можна сформулювати так: для кожного ідеалу $(J$ справедлива формула $I(V(J))=\sqrt{J},$ де $\sqrt{J}$ є радикалом ідеалу $J$ , а $I(U)$ є ідеалом, породженим всіма многочленами, які зануляются на множині $U$ .