Теорема Гільберта про нулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Гі́льберта про нулі ( також використовується німецька назва Nullstellensatz, що перекладається як "теорема про нулі") — теорема, що встановлює фундаментальний зв'язок між геометричними і алгебричними аспектами алгебричної геометрії. Вона пов'язує поняття алгебричної множини з поняттям ідеалу в кільцях многочленів над алгебрично замкнутими полями. Вперше доведена Давидом Гільбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) і названа на його честь.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай Kалгебрично замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай K[X_1,\dots,X_n]кільце многочленів від змінних X_1,\dots,X_n з коефіцієнтами з поля K і нехай I — ідеал в тому кільці.

Афінний многовид V(I), що визначається цим ідеалом, складається з усіх точок x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n таких, що f(x)=0 для будь-якого f\in I. Теорема Гільберта про нулі стверджує, що якщо деякий многочлен p\in K[X_1,\dots,X_n] приймає значення нуль на многовиді \ V(I), тобто якщо p(x)=0 для всіх x\in V(I), то існує натуральне число r таке, що многочлен p^r міститься в I.

Наслідком є наступна "слабка теорема Гільберта про нулі": якщо I є власним ідеалом в кільці K[X_1,\dots,X_n], то V(I) не може бути порожньою множиною, тобто існує загальний нуль для всіх многочленів даного ідеалу (виходить з того що інакше многочлен p(x)=p^r(x)=1 має коріння усюди на V(I) через порожнечу останньої множини). Ця обставина і дала ім'я теоремі. Загальний випадок може бути легко виведений з "слабкої теореми" за допомогою так званого прийому Рабіновича. Припущення про те, що поле K є алгебрично замкнутим, істотно: елементи власного ідеалу (X^2+1) у \mathbb R[X] не мають загального нуля.

Використовуючи стандартну термінологію комутативної алгебри теорему Гільберта про нулі можна сформулювати так: для кожного ідеалу (J справедлива формула I(V(J))=\sqrt{J}, де \sqrt{J} є радикалом ідеалу J, а I(U) є ідеалом, породженим всіма многочленами, які зануляются на множині U.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]