Теорема Гільберта 90

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гільберта 90 — одне з основних тверджень для скінченних циклічних розширень Галуа E/K .

Мультиплікативна форма[ред.ред. код]

Нехай Gгрупа Галуа скінченного циклічного розширення E/K з твірною σ. Тоді норма будь-якого елемента β ∈ E дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли існує ненульовий елемент α ∈ E, такий що β=α/σ(α).

Доведення[ред.ред. код]

Достатність очевидна: якщо β=α/σ(α), то з огляду на мультиплікативність норми маємо N(β)=N(α)/N(σ(α)). Оскільки норма для сепарабельних розширень дорівнює добутку всіх σi(α), а попереднє застосування σ приводить лише до перестановки співмножників, то в силу рівності чисельника і знаменника N(β)=1.

Для доказу необхідності випишемо наступне відображення:

id+βσ+(βσ(β))σ2+...+(βσ(β)...σn-2(β))σn-1

Згідно з теоремою про лінійну незалежність характерів це відображення не є тотожним нулем. Тому існує елемент γ ∈ E, для якого

α=γ+βσ(γ)+(βσ(β))σ2(γ)+...+(βσ(β)(γ)...σn-2(β))σn-1(γ)

Якщо застосувати відображення σ до α, а потім помножити отриманий вираз на β, то перший доданок перейде у другий і т.д., а останній перейде в перший, так як βσ(β)...σn-1(β)=N(β)=1, аσ n = id;

Тоді отримуємо, що βσ(α)=α, ділячи на σ(α)≠ 0 маємо β=α/σ(α). Необхідність доведена.

Адитивна форма[ред.ред. код]

Нехай G — група Галуа скінченного циклічного розширення E/K з твірною σ. Тоді слід будь-якого елемента β ∈ E дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли існує ненульовий елемент α ∈ E, що β=α-σ(α).

Доведення достатності повністю аналогічне мультиплікативному випадку, а для необхідності беремо елемент γ ∈ E, для якого Tr(γ)≠0 і будуємо потрібне α у вигляді:

α=(1/Tr(γ))[βσ(γ)+(β+σ(β))σ2(γ)+...+(β+σ(β)+...σn-2(β))σn-1(γ)]

Тоді отримуємо, що β=α-σ(α). Необхідність доведена.

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]