Теорема Еренфеста

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Теоре́ма Еренфе́ста (Рівняння Еренфеста) — твердження про вид рівнянь квантової механіки для середніх значень спостережуваних величин гамільтонових систем. Ці рівняння вперше отримані П. Еренфестом у 1927 році.

В загальному випадку можуть бути записані у наступній формі:

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle$

де A - деякий квантовомеханічний оператор (наприклад, оператор імпульсу) а $\langle A\rangle$ - середнє значення відповідної фізичної величини. Теорема Еренфеста є обов'язкова в представленні Гейзенберга квантової механіки. Вона вказує на відповідність квантовомеханічних співвідношень та законів - їх класичним аналогам для середніх значень фізичних величин.

Теорема Еренфеста тісно пов'язана з теоремою Ліувіля із механіки Гамільтона, що містить дужки Пуассона замість комутатора. В загальному випадку можна сформулювати наступне правило: кожна теорема квантової механіки, що містить комутатор, може бути приведена до її класичного аналога шляхом заміни комутатора на "дужки Пуассона", помноживши їх на коефіцієнт $i\hbar$.

Виведення

Нехай деяка система знаходиться в квантовому стані $\Phi$. Якщо ми знаємо похідну по часу від очікуваної величини A, тоді за визначенням будемо мати:

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3$

$= \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3,$

де інтегрування проводиться по всьому просторі. Якщо використати при цьому рівняння Шредінгера, тоді знайдемо:

$\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi$

та

$\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}\Phi^*H^* = \frac{i}{\hbar}\Phi^*H.$^[1]

Слід відзначити, що $H=H^*$ оскільки гамільтоніан є ермітовий. Підставляючи це у приведене вище рівняння, знаходимо

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.$

Досить часто (проте не завжди) оператор A не залежить від часу, так що його похідна по часу рівна нулю і ми можемо знехтувати останнім членом.

Приклад використання

В загальному випадку для руху масивної частки в певному потенціалі, гамільтоніан системи можна подати у вигляді:

$H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t)$

де x координата частки. Якщо ми хочемо узнати моментальну зміну імпульсу p, тоді теорема Еренфеста дає:

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle$

оскільки p комутує із самим собою в координатному просторі так, що оператор імпульсу є $p = -i\hbar\nabla$, тоді $\frac{\partial p}{\partial t} = 0$. Також

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3.$

Використовуючи стандартне правило диференціювання добутку, знаходимо

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,$

що за формою збігається з другим законом Ньютона. Це є типовий приклад т.з. принципу відповідності, який стверджує, що у випадку багатьох часток другий закон Ньютона формулюється у формі очікуваної величини для руху однієї частки.

Примітки

1. ^  Для "бра-кет" представлення

$\frac{\partial}{\partial t}\langle \phi |x\rangle =\frac{i}{\hbar}\langle \phi |\hat{H}|x\rangle =\frac{i}{\hbar}\langle \phi |x \rangle H=\frac{i}{\hbar}\Phi^*H$

де $\hat{H}$ оператор Гамільтона, а H є представлення гамільтоніану в координатному просторі (так само, як і у випадку для похідної вище). Іншими словами, ми використали приєднаний оператор для всього рівняння Шредінгера, котрий змінив порядок операцій H та $\Phi$.

Література

• Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.