Теорема Еренфеста

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Теоре́ма Еренфе́ста (Рівняння Еренфеста) — твердження про вид рівнянь квантової механіки для середніх значень спостережуваних величин гамільтонових систем. Ці рівняння вперше отримані П. Еренфестом у 1927 році.

В загальному випадку можуть бути записані у наступній формі:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

де A - деякий квантовомеханічний оператор (наприклад, оператор імпульсу) а \langle A\rangle - середнє значення відповідної фізичної величини. Теорема Еренфеста є обов'язкова в представленні Гейзенберга квантової механіки. Вона вказує на відповідність квантовомеханічних співвідношень та законів - їх класичним аналогам для середніх значень фізичних величин.

Теорема Еренфеста тісно пов'язана з теоремою Ліувіля із механіки Гамільтона, що містить дужки Пуассона замість комутатора. В загальному випадку можна сформулювати наступне правило: кожна теорема квантової механіки, що містить комутатор, може бути приведена до її класичного аналога шляхом заміни комутатора на "дужки Пуассона", помноживши їх на коефіцієнт i\hbar.

Виведення[ред.ред. код]

Нехай деяка система знаходиться в квантовому стані \Phi. Якщо ми знаємо похідну по часу від очікуваної величини A, тоді за визначенням будемо мати:

 \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3
 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3,

де інтегрування проводиться по всьому просторі. Якщо використати при цьому рівняння Шредінгера, тоді знайдемо:

\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

та

\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}\Phi^*H^* = \frac{i}{\hbar}\Phi^*H.[1]

Слід відзначити, що H=H^* оскільки гамільтоніан є ермітовий. Підставляючи це у приведене вище рівняння, знаходимо

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

Досить часто (проте не завжди) оператор A не залежить від часу, так що його похідна по часу рівна нулю і ми можемо знехтувати останнім членом.

Приклад використання[ред.ред. код]

В загальному випадку для руху масивної частки в певному потенціалі, гамільтоніан системи можна подати у вигляді:

 H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t)

де x координата частки. Якщо ми хочемо узнати моментальну зміну імпульсу p, тоді теорема Еренфеста дає:

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle

оскільки p комутує із самим собою в координатному просторі так, що оператор імпульсу є p = -i\hbar\nabla, тоді  \frac{\partial p}{\partial t} = 0. Також

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3.

Використовуючи стандартне правило диференціювання добутку, знаходимо

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

що за формою збігається з другим законом Ньютона. Це є типовий приклад т.з. принципу відповідності, який стверджує, що у випадку багатьох часток другий закон Ньютона формулюється у формі очікуваної величини для руху однієї частки.

Примітки[ред.ред. код]

  1. ^  Для "бра-кет" представлення
 \frac{\partial}{\partial t}\langle \phi |x\rangle =\frac{i}{\hbar}\langle \phi |\hat{H}|x\rangle =\frac{i}{\hbar}\langle \phi |x \rangle H=\frac{i}{\hbar}\Phi^*H
де \hat{H} оператор Гамільтона, а H є представлення гамільтоніану в координатному просторі (так само, як і у випадку для похідної вище). Іншими словами, ми використали приєднаний оператор для всього рівняння Шредінгера, котрий змінив порядок операцій H та \Phi.

Література[ред.ред. код]

  • Шпольский Э. В. Атомная физика (в 2-х томах). — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.