Теорема Кантора — Бернштейна

Теорема Кантора — Бернштейна (також теорема Кантора — Бернштейна — Шредера), стосується теорії множин та стверджує, що якщо в множині A елементів не менше, ніж в множині B (тобто, якщо в множині A існує підмножина, рівнопотужна множині B), а в множині B елементів не меньше, ніж в множині A, то насправді елементів порівну, тобто існує бієкція (взаємно однозначна відповідність) між множинами A та B. Тобто: що якщо існують ін'єктивні відображення $f:A\to B$ і $g:B\to A$ між множинами $A$ і $B$, то існує бієкція $h:A\to B$. Іншими словами, потужності множин $A$ і $B$ збігаються:

$|A|=|B|.$

Неформально, теорема стверджує наступне:

Із $\alpha \leqslant \beta$ і $\beta\leqslant\alpha$, випливає, що $\alpha$ = $\beta$. В даних нерівностях $\alpha$ і $\beta$ є кардинальними числами.

Доведення

Нехай, без обмеження загальності, множини A та B не перетинаються. Для будь-яких a в A чи b в B, ми можемо сформувати унікальну двосторонню послідовність елементів, що поперемінно належать A та B, шляхом почергового застосування $f$ та $g$ йдучи вправо і $g^{-1}$ та $f^{-1}$ вліво (де вони визначені).

$\cdots \rightarrow f^{-1}(g^{-1}(a)) \rightarrow g^{-1}(a) \rightarrow a \rightarrow f(a) \rightarrow g(f(a)) \rightarrow \cdots$

Для будь-якого конкретного a, ця послідовність може припинитися в точці, де $f^{-1}$ чи $g^{-1}$ не визначені або не закінчуватися, якщо вони всюди визначені.

Назвемо таку послідовність (та усі її елементи) A-стопор, якщо вона зупиняється на елементі з A, чи B-стопор якщо вона зупиняється на елементі з B. Інакше, назвемо її подвійно безмежною, якщо всі елементи різні чи циклічною, якщо вони повторюються.

У силу того, що $f$ та $g$ є ін'єктивними функціями, кожен елемент a в A та b в B буде зустрічатися лише в одній такій послідовності, оскільки якщо б елемент зустрічався в двох послідовностях, всі елементи зліва і справа повинні були б бути однакові в обох з них, за визначенням.

У силу вище сказаного описані послідовності формують розбиття об'єднання множин A і B. Для A-стопора функція $f$ є бієкцією між елементами множин A і B в цій послідовності. Для B-стопора функція $g$ є бієкцією між елементами множин B і A в цій послідовності. Для подвійно безмежної чи циклічної послідовності можна використати будь-яку з двох функцій.

Інше доведення

Нехай

$C_0=A\setminus g[B],\!$

і

$C_{n+1}=g[f[C_n]]\quad \mbox{ for }n\geqslant 0$

і

$C=\bigcup_{n=0}^\infty C_n.$

Тоді, для довільного $x\in A$ візьмемо

$h(x)=\left\{ \begin{matrix} f(x) & \,\,\mbox{if }x\in C \\ g^{-1}(x) & \mbox{if }x\not\in C \end{matrix} \right.$

Якщо x не лежить в C, тоді x повинен бути в g[B] (образі множини B під дією відображення g). І тоді існує g ^-1(x), і h коректно визначене взаємно однозначне відображення (бієкція).

Можна перевірити, що $h:A \to B$ і є шукане взаємооднозначне відображення.

Помітимо, що це визначення відображення h неконструктивне в тому сенсі, що не існує загального алгоритму визначення за скінченне число кроків для будь-яких заданих множин A, B і ін'єкцій f, g, чи лежить деякий елемент x множини A в множині C чи ні. Хоча для деяких окремих випадків, такий алгоритм існує.

Історія

Як це часто буває в математиці, назва цієї теореми не вірно відображає її історію. Традиційна назва "Шредера-Бернштейна" ґрунтується на двох доказах, опублікованих в 1898 році незалежно один від одного. Кантора часто додають до назви тому, що він вперше сформулював теорему в 1895 році, в той час як ім'я Шредера часто опускається, тому що його доказ виявився помилковим, а ім'я математика, який вперше довів це не пов'язано з теоремою взагалі. Насправді, історія була більш складною:

• 1887 — Ріхард Дедекінд доводить теорему, але не публікує її.
• 1895 — Георг Кантор подає твердження теореми у своїй першій роботі з теорії множин.
• 1896 — Ернст Шредер оголосив про доведення теореми.
• 1897 — Фелікс Бернштейн, молодий студент подав своє доведення на семінарі Кантора.
• 1897 — Після візиту Бернштейна до Дедекінда, останній самостійно доводить теорему вдруге.
• 1898 — Доведення Бернштейна публікує Еміль Борель у своїй книзі про функції.

Обидва доведення Дедекінда обґрунтовуються в його науковій статті "Was sind und was sollen die Zahlen?".

$A \subset B \subset C \quad\textrm{and}\quad |A|=|C| \qquad\Rightarrow\qquad |A|=|B|=|C|$

Див. також

• Ернст Шредер
• Георг Кантор
• Фелікс Бернштейн
• Теорія множин
• Кардинальне число

Література

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004. — 336 с.