Теорема Кантора — Гейне

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема КантораГейне в математичному і функціональному аналізі стверджує, що функція, неперервна на компакті, рівномірно неперервна на ньому.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай дано два метричних простори (X,\varrho_X) і (Y,\varrho_Y). Нехай також дано компактну підмножину K \subset X і визначено на ній неперервну функцію f\colon K \to Y, f\in C(K). Тоді f рівномірно неперервна на K..


Зауваження[ред.ред. код]

  • Зокрема, неперервна дійснозначна функція, визначена на відрізку, f\colon[a,b]\subset \R \to \R рівномірно неперервна на ньому.
  • В умовах теореми компакт не можна замінити на довільну відкриту множину. Наприклад, функція
f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною.