Теорема Каратеодорі про продовження міри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільна (зліченно-адитивна) міра на деякому кільці \mathcal{R} підмножин множини X може бути продовжена на σ-кільце породжене кільцем \mathcal{R}. У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай \mathcal{R} кільце на множині \,\Omega і \mu : R \to [0,+\infty] — міра на \mathcal{R}. Теорема Каратеодорі стверджує, що існує міра \mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty] така, що \,\mu' є продовженням \,\mu. (Тобто, \mu'_{|_R} = \mu ).

Тут \,\sigma(\mathcal{R})\sigma-кільце породжене \mathcal{R}.

Якщо міра \muσ-скінченна то \mu' є єдиною і також σ-скінченною.

Напівкільця[ред.ред. код]

Більш загально таке продовження існує для міри заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

  • \varnothing \in S
  • Для всіх A, B \in S, також A \cap B \in S
  • Для всіх A, B \in S, існують такі попарно непересічні множини K_i \in S, де i = 1,2,\ldots,n, що  A\setminus B = \biguplus K_i .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце елементами якого є:

R(S) = \{ A: A = \bigcup_{i=1}^{n}{A_i}, A_i \in S \}

Також міра задана на напівкільці поширюється на все кільце:

\mu(A) = \sum_{p=1}^{n}{\mu(A_p)} for A = \biguplus_{p=1}^{n}{A_p}, with the Ap in S.

Побудова продовження[ред.ред. код]

Нехай \mu — міра визначена на кільці \mathcal{R} підмножин множини \Omega \,.

Тоді можна визначити \mu^* — функцію визначену на A\in\mathcal{P}(X) par :

\mu^*(A)=\mathrm{inf}\{\sum_{k=1}^{+\infty}\mathrm{\mu}\,(E_k)\,\mid\,E_k\in\mathcal{R},\,A\subset\bigcup_{k=1}^{+\infty}E_k\}.

Дана функція є зовнішньою мірою породженною мірою \mu.

Позначимо \mathcal{M}_\mu сім'ю підмножин A множини \Omega \, для яких виконується:

Для всіх E\subset \Omega \,, \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)=\mu^*(E).

Тоді \mathcal{M}_\mu є σ—кільцем і на ньому можна визначити міру \overline\mu(A) = \mu^* (A) для всіх A \in \mathcal{M}_\mu. Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з \mu на множинах кільця \mathcal{R}. Також \mathcal{M}_\mu містить σ-алгебру \,\sigma(\mathcal{R}) і звуження \overline\mu на елементи \,\sigma(R) і буде необхідним розширенням міри.

σ—кільце \mathcal{M}_\mu є поповненням кільця \,\sigma(\mathcal{R}), відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на \,\sigma(\mathcal{R}) є повною.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце \mathcal{S} інтервалів [a,b], \quad a < b, де міра [a,b] рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах \,\sigma (\mathcal{S}). Множині \mathcal{M}_\mu тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
  • Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b) де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце породжене цим напівкільцем є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер \mu(A) рівне кількості елементів A і \mu^'(A)= 2 \mu(A), маємо, що обидві міри збігаються на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непусті множини цих напівкільця і кільця є безмежними то обі міри на всіх цих множинах рівні \infty), але не збігаються на породженому σ-кільці. Тобто в даному випадку продовження не є єдиним.

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953