Теорема Каратеодорі про продовження міри

В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільна (зліченно-адитивна) міра на деякому кільці $\mathcal{R}$ підмножин множини $X$ може бути продовжена на σ-кільце породжене кільцем $\mathcal{R}$ . У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Твердження [ред.]

Нехай $\mathcal{R}$ кільце на множині $\,\Omega$ і $\mu : R \to [0,+\infty]$ — міра на $\mathcal{R}$ . Теорема Каратеодорі стверджує, що існує міра $\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]$ така, що $\,\mu'$ є продовженням $\,\mu$ . (Тобто, $\mu'_{|_R} = \mu$ ).

Тут $\,\sigma(\mathcal{R})$ — $\sigma$ -кільце породжене $\mathcal{R}$ .

Якщо міра $\mu$ — σ-скінченна то $\mu'$ є єдиною і також σ-скінченною.

Напівкільця [ред.]

Більш загально таке продовження існує для міри заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

$\varnothing \in S$
Для всіх $A, B \in S$ , також $A \cap B \in S$
Для всіх $A, B \in S$ , існують такі попарно непересічні множини $K_i \in S$ , де $i = 1,2,\ldots,n$ , що $A\setminus B = \biguplus K_i$ .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце елементами якого є:

$R(S) = \{ A: A = \bigcup_{i=1}^{n}{A_i}, A_i \in S \}$

Також міра задана на напівкільці поширюється на все кільце:

$\mu(A) = \sum_{p=1}^{n}{\mu(A_p)}$ for $A = \biguplus_{p=1}^{n}{A_p}$ , with the A_p in S.

Побудова продовження [ред.]

Нехай $\mu$ — міра визначена на кільці $\mathcal{R}$ підмножин множини $\Omega \,$ .

Тоді можна визначити $\mu^*$ — функцію визначену на $A\in\mathcal{P}(X)$ par :

$\mu^*(A)=\mathrm{inf}\{\sum_{k=1}^{+\infty}\mathrm{\mu}\,(E_k)\,\mid\,E_k\in\mathcal{R},\,A\subset\bigcup_{k=1}^{+\infty}E_k\}.$

Дана функція є зовнішньою мірою породженною мірою $\mu$ .

Позначимо $\mathcal{M}_\mu$ сім'ю підмножин $A$ множини $\Omega \,$ для яких виконується:

Для всіх $E\subset \Omega \,$ , $\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)=\mu^*(E)$ .

Тоді $\mathcal{M}_\mu$ є σ—кільцем і на ньому можна визначити міру $\overline\mu(A) = \mu^* (A)$ для всіх $A \in \mathcal{M}_\mu$ . Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з $\mu$ на множинах кільця $\mathcal{R}$ . Також $\mathcal{M}_\mu$ містить σ-алгебру $\,\sigma(\mathcal{R})$ і звуження $\overline\mu$ на елементи $\,\sigma(R)$ і буде необхідним розширенням міри.

σ—кільце $\mathcal{M}_\mu$ є поповненням кільця $\,\sigma(\mathcal{R})$ , відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на $\,\sigma(\mathcal{R})$ є повною.

Приклади [ред.]

Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце $\mathcal{S}$ інтервалів $[a,b], \quad a < b$ , де міра $[a,b]$ рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах $\,\sigma (\mathcal{S})$ . Множині $\mathcal{M}_\mu$ тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b) де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце породжене цим напівкільцем є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер $\mu(A)$ рівне кількості елементів A і $\mu^'(A)= 2 \mu(A)$ , маємо, що обидві міри збігаються на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непусті множини цих напівкільця і кільця є безмежними то обі міри на всіх цих множинах рівні $\infty$ ), але не збігаються на породженому σ-кільці. Тобто в даному випадку продовження не є єдиним.