Теорема Келі (теорія груп)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Келі  — результат теорії груп, що твердить, що будь-яка група (G, \cdot) є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів G. Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай (G, \cdot)  — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо Sym(G) її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

\exists_{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H. Де позначення G\approx H означає ізоморфність групG і H.

Доведення[ред.ред. код]

Визначимо функцію \varphi_g так: \forall_{g\in G}:\varphi_g:G\rightarrow G:x\mapsto gx. Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є \varphi_g:G\rightarrow G:x\mapsto g^{-1}x.) тож H=\left\{\varphi_g|g\in G\right\}\subset Sym(G).

Визначимо тепер відображення:T:G\rightarrow H:g\mapsto\varphi_g. Зважаючи, що різним g \in G відповідають різні функції \varphi_g маємо |H|=|G| і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:

\forall_{x\in G} \forall_{g,g'\in G}: T(gg')(x)=\varphi_{gg'}(x)= x \mapsto gg'x= (x\mapsto gx)\circ(x\mapsto g'x)
=\, \varphi_g\circ\varphi_{g'}(x)=\left(T(g)\circ T(g')\right)(x)

Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо G\approx H

Література[ред.ред. код]