Теорема Крамера—Вольда

Теорема Крамера—Вольда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика Гаральда Крамера і норвезького статистика Германа Вольда.

Твердження теореми

Нехай

$\overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \;$

і

$\; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k)$ — випадкові вектори розмірності  k. Тоді $X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X$ (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:

$\sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} \sum_{i=1}^k t_iX_i.$

для кожного $(t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k$, that is, тобто довільна фіксована лінійна комбінація $\overline{X}_n$ збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора $\overline{X}$.

Зокрема $X \overset{\mathcal{D}}= Y$ (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли $\sum_{i=1}^k t_iX_{i} \, \overset{\mathcal{D}}=\, \sum_{i=1}^k t_iY_{i}, \; \forall (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k.$

Доведення

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\big[\,\exp({i\,t^T\!X})\,\big].$

Згідно з властивостями характеристичних функцій $X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X \iff \varphi_{X_n}(\cdot) \to \varphi_X(\cdot),$ де збіжність функцій є поточковою. Але $\varphi_X(st) = \varphi_t^'X(s)$ і тому:

$\begin{align} X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X & \iff \varphi_{X_n}(st) \to \varphi_X(st), \; \forall s \in \R, \forall t \in \R^k \iff \\ & \iff \varphi_{t^'X_n}(t) \to \varphi_{t^'X}(st), \; \forall s \in \R, \forall t \in \R^k \iff \\ & \iff \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} \sum_{i=1}^k t_iX_i \; \forall t \in \R^k. \end{align}$

Джерела

• Martin Bilodeau, David Brenner (1999), Theory of Multivariate Statistics, Springer, ISBN 0387987398
• Durrett, R. Probability. Theory and examples. (2010)

Посилання

• Project Euclid: "When is a probability measure determined by infinitely many projections?"