Теорема Крамера—Вольда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Крамера—Вольда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика Гаральда Крамера і норвезького статистика Германа Вольда.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай

 \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \;

і

 \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) випадкові вектори розмірності  k. Тоді X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:
 \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} \sum_{i=1}^k t_iX_i.

для кожного  (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k , that is, тобто довільна фіксована лінійна комбінація  \overline{X}_n збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора  \overline{X} .

Зокрема  X \overset{\mathcal{D}}= Y (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли \sum_{i=1}^k t_iX_{i} \, \overset{\mathcal{D}}=\, \sum_{i=1}^k t_iY_{i}, \; \forall (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k.

Доведення[ред.ред. код]

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

\varphi_X(t) = \operatorname{E}\big[\,\exp({i\,t^T\!X})\,\big].

Згідно з властивостями характеристичних функцій X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X \iff  \varphi_{X_n}(\cdot) \to \varphi_X(\cdot), де збіжність функцій є поточковою. Але \varphi_X(st) = \varphi_t^'X(s) і тому:

	
\begin{align}
X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X & \iff \varphi_{X_n}(st) \to \varphi_X(st), \; \forall s \in \R, \forall t \in \R^k \iff \\
& \iff \varphi_{t^'X_n}(t) \to \varphi_{t^'X}(st), \; \forall s \in \R, \forall t \in \R^k \iff \\
& \iff \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} \sum_{i=1}^k t_iX_i \; \forall t \in \R^k.
\end{align}

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]