Теорема Круля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Круля в абстрактній алгебрі стверджує існування максимального ідеалу в довільному кільці з одиницею. Теорема названа на честь німецького математика Вольфганга Круля, що довів її у 1926 році[1]. У 1978 році Вілфрід Ходжес довів, що з теореми Круля випливає лема Цорна. [2]. Відповідно твердження теореми еквівалентно аксіомі вибору.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай R — нетривіальне кільце з одиницею. Тоді для довільного ідеалу I \subset R існує максимальний ідеал J, такий що J \subset R. Зокрема якщо взяти ідеал \{0\} то звідси випливає існування максимального ідеалу для довільного кільця з одиницею.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай Sмножина власних ідеалів R, що містять I. Множина S є непорожньою, оскільки I є елементом S. S є частково впорядкованою множиною щодо включення підмножин. Для довільної лінійно впорядкованої підмножини T елементів S, об'єднання ідеалів з T є також ідеалом . Цей ідеал є власним (оскільки 1 не належить жодному власному ідеалу з S і, відповідно з T). Тому згідно з лемою Цорна у множині S є максимальний елемент, що і буде максимальним ідеалом, що містить I.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744
  2. Wilfrid Hodges (1978), Krull Implies Zorn, Journal London Mathematical Society, Volume s2-19, 2, pp 285-287

Посилання[ред.ред. код]