Теорема Лагранжа

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теореми

Якщо функція $\!f$ неперервна на проміжку $\![a, b]$, диференційована в $\!(a, b)$, то знайдеться принаймні одна точка $\!c \in [a, b]$ така, що має місце формула:

$\! f'(c)= \frac{f(b) - f(a)} {b - a}$.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення

Розглянемо на проміжку $\![a, b]$ наступну допоміжну функцію:

$\! F(x)=\!f(x)-\!f(a)- \frac{f(b) - f(a)} {b - a} (x-a) \qquad \qquad (1)$.

Перевіримо, що для функції $\!F(x)$ виконані всі умови теореми Ролля. І справді, $\!F(x)$ неперервна на проміжку $\![a, b]$ (як різниця функції $\!f(x)$ та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка $\![a, b]$ має похідну:

$\! F'(x)=\!f'(x)- \frac{f(b) - f(a)} {b - a}$.

З формули (1) очевидно, що $\!F(a)=\!F(b)=0$.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку $\!(a, b)$ знайдеться точка $\!c$ така, що

$\! F'(c)=\!f'(c)- \frac{f(b) - f(a)} {b - a} =0 \qquad \qquad (2)$

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати $\!b>\!a$

Зауваження

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису

Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай $\!f(x)$ відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке $\!x_0$ з проміжка $\![a, b]$ та надамо йому довільний приріст $\Delta\ \!x$, але такий, щоб значення $\!x_0+\Delta\ \!x$ також належало до проміжка $\![a, b]$. Тоді для проміжка $\![x_0, \!x_0+\Delta\ \!x]$, будемо мати:

$\! f(x_0+\Delta\ \!x)- f(x_0)=\Delta\ \!x \cdot f'(c) \qquad \qquad (3)$,

де $\!c$ — деяка точка, що лежить між $\!x_0$ та $\!x_0+\Delta\ \!x$. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від $\Delta\ \!x$) число $\theta\$ з інтервалу $\!0< \theta\ <1$, що $\!c=x_0+\theta\ \Delta\ \!x$. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

$\! f(x_0+\Delta\ \!x)- f(x_0)=\Delta\ \!x \cdot f'(x_0+\theta\ \Delta\ \!x) \qquad \qquad (4)$,

де $\theta\$ — деяке число з інтервалу $\!0< \theta\ <1$. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст $\Delta\ \!x$ аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що $\frac{f(b) - f(a)} {b - a}$ є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки $\!(a, f(a))$ та $\!(b, f(b))$ кривої $\!y=\!f(x)$, $\!f'(c)$ є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої $\!y=\!f(x)$. Формула Лагранжа означає, що на кривій $\!y=\!f(x)$ між точками $\!x=a$ та $\!x=b$ знайдеться точка $\!x=c$ така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення

Якщо розглянути функцію $\!f(x)$ як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом $\!s(t)=\!f(x)$, тоді різниця $\!f(b)-\!f(a)$ є шлях, пройдений тілом, а різниця $\!b-\!a$ є усім часом, який було витрачено на подолання шляху $\!f(b)-\!f(a)$. Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

$\frac{f(b) - f(a)} {b - a}$.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також

• Теорема Коші
• Теорема Ролля
• Лагранж Жозеф-Луї

Література

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.