Теорема Лагранжа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Якщо функція \!f неперервна на проміжку \![a, b], диференційовна в \!(a, b), то знайдеться принаймні одна точка \!c \in [a, b] така, що має місце формула:

\! f'(c)= \frac{f(b) - f(a)} {b - a}.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення[ред.ред. код]

Розглянемо на проміжку \![a, b] наступну допоміжну функцію:

\! F(x)=\!f(x)-\!f(a)- \frac{f(b) - f(a)} {b - a} (x-a) \qquad \qquad (1).

Перевіримо, що для функції \!F(x) виконані всі умови теореми Ролля. І справді, \!F(x) неперервна на проміжку \![a, b] (як різниця функції \!f(x) та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка \![a, b] має похідну:

\! F'(x)=\!f'(x)- \frac{f(b) - f(a)} {b - a}.

З формули (1) очевидно, що \!F(a)=\!F(b)=0.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку \!(a, b) знайдеться точка \!c така, що

\! F'(c)=\!f'(c)- \frac{f(b) - f(a)} {b - a} =0 \qquad \qquad (2)

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати \!b>\!a

Зауваження[ред.ред. код]

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису[ред.ред. код]

Не рідко буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, декілька відмінному від початкового. Нехай \!f(x) відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке \!x_0 з проміжка \![a, b] та надамо йому довільний приріст \Delta\ \!x, але такий, щоб значення \!x_0+\Delta\ \!x також належало до проміжка \![a, b]. Тоді для проміжка \![x_0, \!x_0+\Delta\ \!x], будемо мати:

\! f(x_0+\Delta\ \!x)- f(x_0)=\Delta\ \!x \cdot f'(c) \qquad \qquad (3),

де \!c — деяка точка, що лежить між \!x_0 та \!x_0+\Delta\ \!x. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від \Delta\ \!x) число  \theta\ з інтервалу \!0< \theta\ <1, що \!c=x_0+\theta\ \Delta\ \!x. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

\! f(x_0+\Delta\ \!x)- f(x_0)=\Delta\ \!x \cdot f'(x_0+\theta\ \Delta\ \!x) \qquad \qquad (4),

де  \theta\ — деяке число з інтервалу \!0< \theta\ <1. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст \Delta\ \!x аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація[ред.ред. код]

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що  \frac{f(b) - f(a)} {b - a} є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки \!(a, f(a)) та \!(b, f(b)) кривої \!y=\!f(x), \!f'(c) є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої \!y=\!f(x). Формула Лагранжа означає, що на кривій \!y=\!f(x) між точками \!x=a та \!x=b знайдеться точка \!x=c така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення[ред.ред. код]

Якщо розглянути функцію \!f(x) як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом \!s(t)=\!f(x), тоді різниця \!f(b)-\!f(a) є шлях, пройдений тілом, а різниця \!b-\!a є усім часом, який було витрачено на подолання шляху \!f(b)-\!f(a). Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

\frac{f(b) - f(a)} {b - a}.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.