Теорема Лагранжа (теорія груп)

Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

$|G| = |G:H| \cdot |H|$,

де $\ |G:H|$ позначає індекс групи $\ G$ по підгрупі $\ H$,тобто кількість класів суміжності $H$ в $G$, а $\ |G|, |H|$ позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення

Нехай $\ G$ є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності $\{gH\colon g \in G\}$ групи $G$ щодо $H$. Ця множина розбиває групу $G$ на $\ n = |G : H|$ рівнопотужних множин: $\ g_1H, g_2H, \dots, g_nH$.

Тобто

$\ G = g_1H \cup g_2H \cup \dots \cup g_nH$,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

$\ |G| = |g_1H| + |g_2H| + \dots + |g_nH|$,

і враховуючи їх рівнопотужність з $H$, остаточно отримуємо

$\ |G| = |H| + |H| + \dots + |H| = n |H|$,

тобто:

$\ |G| = |G:H| \cdot |H|$.

Узагальнення

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай $\ G$ є скінченною групою і маємо $K \leqslant H \leqslant G$, тоді

$|G : H| \cdot |H : K| = |G : K|$.

Доведення

З теореми Лагранжа випливає:

$|G : H| \cdot |H| = |G| = |G : K| \cdot |K|$ і також

$|H : K| \cdot |K| = |H|$,

звідки

$|G : H| \cdot |H : K| = \frac{|G|}{|H|} \cdot \frac{|H|}{|K|} = \frac{|G:K| \cdot |K|}{|K|} = |G : K|$.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9.