Теорема Лагранжа (теорія груп)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

|G| = |G:H| \cdot |H|,

де \ |G:H| позначає індекс групи \ G по підгрупі \ H,тобто кількість класів суміжності H в G, а \ |G|, |H| позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай \ G є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності \{gH\colon g \in G\} групи G щодо H. Ця множина розбиває групу G на \ n = |G : H| рівнопотужних множин: \ g_1H, g_2H, \dots, g_nH.

Тобто

\ G = g_1H \cup g_2H \cup \dots \cup g_nH,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

\ |G| = |g_1H| + |g_2H| + \dots + |g_nH|,

і враховуючи їх рівнопотужність з H, остаточно отримуємо

\ |G| = |H| + |H| + \dots + |H| = n |H|,

тобто:

\ |G| = |G:H| \cdot |H|.

Узагальнення[ред.ред. код]

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай \ G є скінченною групою і маємо K \leqslant H \leqslant G, тоді

|G : H| \cdot |H : K| = |G : K|.

Доведення[ред.ред. код]

З теореми Лагранжа випливає:

|G : H| \cdot |H| = |G| = |G : K| \cdot |K| і також
|H : K| \cdot |K| = |H|,
звідки
|G : H| \cdot |H : K| = \frac{|G|}{|H|} \cdot \frac{|H|}{|K|} = \frac{|G:K| \cdot |K|}{|K|} = |G : K|.

Література[ред.ред. код]