Теорема Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Теорема[ред.ред. код]

Нехай \ A=(a_{ij})квадратна матриця розміру \ n \times n, в якій вибрано довільні \ k рядків.

Тоді визначник матриці \ A рівний сумі всіляких добутків мінорів \ k-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

\det A = \sum_{j_1<\ldots<j_k}M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} A^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k},
де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців \ j_1, \ldots, j_k.

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати k стовпців з n, тобто біноміальному коефіцієнту \textstyle {n \choose k}.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)[ред.ред. код]

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай A = (a_{ij}) — квадратна матриця розміру n \times n. Нехай також заданий деякий номер її рядка \ i або номер її стовпця \ j. При \ k=1 мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник \ A може бути обчислений за формулами:

Розклад по i-му рядку:

\det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}

Розклад по j-му стовпцю:

\det A = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij}

де \ A_{ij} — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером \ i та стовпці з номером \ j.

Фальшивий розклад[ред.ред. код]

Сума добутків усіх елементів деякої рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

 i \ne k \quad \Rightarrow \quad \sum_{j=1}^n a_{kj} A_{ij} = 0
 j \ne k \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^n a_{ik} A_{ij} = 0

Приклади[ред.ред. код]

Розглянемо матрицю

 B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}.

Визначник матриці обчислимо за допомогою розкладу Лапласа по першому рядку:

 |B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}
 {} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0.

Застосувавши розклад Лапласа по другому стовпцю отримаємо той самий результат:

 |B| = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}
 {} = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0.

Література[ред.ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — С. 25-27. — ISBN 5-9221-0481-0
  • Прасолов, В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — 2-е изд. — М.: 2008. — С. 42-45.