Теорема Лебега про розклад міри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ввідні визначення

Нехай Fмонотонно неспадна функція, неперервна зліва на відрізку [a,\;b]. На [a,\;b] вводиться борелівська сигма-алгебра:

m[a,\;b)=F(b)-F(a),
m(a,\;b)=F(b)-F(a+0),
m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0),
m[a,\;b]=F(b+0)-F(a),

\mu_Fміра Стілтьєса на відрізку [a,\;b], для твірної функції якої: F(+\infty)-F(-\infty). Тому можна продовжити міру на всю числову пряму.

Окремі випадки твірної функції:

  • F — функція стрибків. Стрибок завжди додатний, множина A — з скінченного або зліченного числа точок (скалярів).

\mu_F(A)=\sum\limits_{x_i\in A}h_i — дискретна міра.

  • Функція F неперервна, монотонно не спадає на [a,\;b], на (a,\;b) F'(x)=f(x).

\mu_F(A)=\int\limits_A f(x)\,dx — абсолютно неперервна міра.

  • F — сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст F рівний 1 на всьому відрізку, але F є константою майже всюди ). Міра зосереджена в точках зростання функції.
Теорема про розклад міри

Будь-яку міру Лебега - Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]